Lin. Abbildungn, Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:29 Sa 02.12.2006 | | Autor: | ManuP |
Hallo.
Unser Mahte-Prof. hat in einer Vorlesung darüber gesprochen, dass der Betrag einer Determinanten einer Abbildungsmatrix gerade die Volumenänderung des von den Einheitsvektoren aufgespannten Parallelepipeds sei.
Bedingung dafür sei die linearität der Abbildungsmatrix, also [mm] f(\vec{a}+\vec{b}) [/mm] = [mm] f(\vec{a}) +f(\vec{b}) [/mm] und [mm] f(\vec{a}*\lambda) [/mm] = [mm] \lambda*f(\vec{a})).
[/mm]
Wenn ich von den Einheitsvektoren [mm] (|e_{i}|=1, [/mm] somit das Volumen gleich 1), ausgehe, ist die determinante also gleich dem Volumen des Parallelepipeds.
Nehme ich bspw. die Matrix
[mm] A=\pmat{a & b \\ c & d} [/mm] |det(A)|=|ad-bc|
und die Einheitsvektoren [mm] e_{1}=\vektor{1\\0} [/mm] und [mm] e_{2}=\vekotr{0\\1},
[/mm]
so erhlate ich für die Fläche des Parallelepipeds (oder Volumen im [mm] \IR^{3}...)
[/mm]
[mm] \produkt_{i=1}^{2}|f_{(e_{i})}|=\wurzel{a^2b^2+a^2d^2+c^2b^2+c^2d^2}
[/mm]
jetzt ist [mm] |det(A)|=|ad-bc|\not=\wurzel{a^2b^2+a^2d^2+c^2b^2+c^2d^2}
[/mm]
1. Warum stimmt das nicht
2. allgemeiner: wie kann man das verstehen?
Danke, Manuel
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:35 Sa 02.12.2006 | | Autor: | ManuP |
Ich möchte bei der Frage etwas korrigieren.
Das Volumen berechnet sich nicht so, wie von mir gesagt. Es muss mit dem Vektorprodukt errechnet werden.
Dadurch könnte ich dann evtl. auf das richtige Ergebnis kommen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:21 Di 05.12.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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