Lemma von Bézout (für Polynome < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:28 Mi 26.10.2005 | | Autor: | Mork_ |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Vorraussetzungen :
Euklidischer Algorithmus
grad(p(x)) [mm] \ge [/mm] grad(q(x))
p,q,g Polynome
[mm] g(x)\not=0 [/mm] und ggT von p(x) und q(x)
zeige : es gibt Polynome [mm] z_{1}(x) [/mm] und [mm] z_{2}(x) [/mm] so dass [mm] p(x)*z_{1}(x)+q(x)*z_{2}(x)=g(x)
[/mm]
meine idee zur existenz von der z´s :
nach der definition vom ggT weiß man, weil g(x)|p(x) [g teilt p], dass ein weiteres Polymon [mm] z_{1}(x) [/mm] mit Koeffizienten in K existiert für das g(x) sich darstellen als [mm] g(x)=p(x)*z_{1}(x)
[/mm]
analog für g(x)|q(x) : [mm] g(x)=q(x)*z_{2}(x)
[/mm]
dann kann ich g(x)=g(x) setzen und komme darauf, das [mm] 0=p(x)*z_{1}(x) -q(x)*z_{2}(x) [/mm] ist aber wie komme ich auf meine Formel [mm] p(x)*z_{1}(x)+q(x)*z_{2}(x)=g(x) [/mm] ?
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Hallo Mork_,
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
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> Vorraussetzungen :
> Euklidischer Algorithmus
> grad(p(x)) [mm]\ge[/mm] grad(q(x))
> p,q,g Polynome
> [mm]g(x)\not=0[/mm] und ggT von p(x) und q(x)
>
> zeige : es gibt Polynome [mm]z_{1}(x)[/mm] und [mm]z_{2}(x)[/mm] so dass
> [mm]p(x)*z_{1}(x)+q(x)*z_{2}(x)=g(x)[/mm]
>
> meine idee zur existenz von der z´s :
> nach der definition vom ggT weiß man, weil g(x)|p(x) [g
> teilt p], dass ein weiteres Polymon [mm]z_{1}(x)[/mm] mit
> Koeffizienten in K existiert für das g(x) sich darstellen
> als [mm]g(x)=p(x)*z_{1}(x)[/mm]
> analog für g(x)|q(x) : [mm]g(x)=q(x)*z_{2}(x)[/mm]
>
> dann kann ich g(x)=g(x) setzen und komme darauf, das
> [mm]0=p(x)*z_{1}(x) -q(x)*z_{2}(x)[/mm] ist aber wie komme ich auf
> meine Formel [mm]p(x)*z_{1}(x)+q(x)*z_{2}(x)=g(x)[/mm] ?
Wende den Euklischen Algoritmus rückwärts an.
Um den ggt zweier Polynome p(x) und q(x) zu ermitteln, kann man den Euklidischen Algorithmus anwenden:
[mm]
\begin{gathered}
q\left( x \right)\; = \;\alpha _0 \left( x \right)\;p(x)\; + \;\beta _1 (x) \hfill \\
p\left( x \right)\; = \;\alpha _1 \left( x \right)\;\beta _1 (x)\; + \;\beta _2 (x) \hfill \\
\cdots \hfill \\
\beta _{n - 2} \left( x \right)\; = \;\alpha _{n - 1} \left( x \right)\;\beta _{n - 1} (x)\; + \;\beta _n (x) \hfill \\
\beta _{n - 1} \left( x \right)\; = \;\alpha _n \left( x \right)\;\beta _n (x)\; + 0 \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Hier ist [mm]\beta _n (x)\;=\;g(x)[/mm]
Um nun auf die Darstellung [mm]p(x)*z_{1}(x)+q(x)*z_{2}(x)=g(x)[/mm] zu kommen, wendest Du den Euklidischen Algorithmus an:
[mm]
\begin{gathered}
\beta _n (x)\; = \;\beta _{n - 2} \left( x \right)\; - \;\alpha _{n - 1} \left( x \right)\;\beta _{n - 1} (x) \hfill \\
= \;\beta _{n - 2} \left( x \right)\; - \;\alpha _{n - 1} \left( x \right)\;\left( {\beta _{n - 3} \left( x \right)\; - \;\alpha _{n - 2} \left( x \right)\;\beta _{n - 2} (x)} \right) \hfill \\
= \;\left( {1\; + \;\alpha _{n - 1} \left( x \right)\;\alpha _{n - 2} \left( x \right)} \right)\;\beta _{n - 2} \left( x \right)\; - \;\alpha _{n - 1} \left( x \right)\;\beta _{n - 3} \left( x \right)\; \hfill \\
\end{gathered}
[/mm]
Jetzt ersetzt Du [mm]\beta _{n - 2} \left( x \right)[/mm], dann [mm]\beta _{n - 3} \left( x \right)[/mm] usw.
Gruß
MathePower
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