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Leibnizkriterium: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:24 Mo 15.03.2010
Autor: melisa1

Aufgabe
[mm] \summe_{n=1}^{\infy} -1^{n-1} \bruch{2n+1}{n(n+1)} [/mm]

Hallo,

man kann das Leibnizkriterium anwenden, weil es sich um eine alternierende reihe handelt. Zu zeigen, dass es eine Nullfolge ist, ist auch kein Problem. Das, was mir schwierigkeiten bereitet ist die monotonie.
DIese zeige ich entweder durch:

[mm] a_{n}\ge a_{n+1} [/mm]

d.h.: [mm] \bruch{2n+1}{n(n+1)} \ge \bruch{2n+2}{(n+1)(n+2)} [/mm]

wie muss ich in diesem Fall weiter machen?

oder

[mm] a_{n}-a_{n+1} [/mm]

d.h.: [mm] \bruch{(2n+1)(n+2)-(2n+3)n}{n(n+1)(n+2)} [/mm] = [mm] \bruch{2n+2}{n(n+1)(n+2)}\ge [/mm] 0

reicht das schon aus?

Lg Melisa

        
Bezug
Leibnizkriterium: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:30 Mo 15.03.2010
Autor: fred97


> [mm]\summe_{n=1}^{\infy} -1^{n-1} \bruch{2n+1}{n(n+1)}[/mm]
>  Hallo,
>  
> man kann das Leibnizkriterium anwenden, weil es sich um
> eine alternierende reihe handelt. Zu zeigen, dass es eine
> Nullfolge ist, ist auch kein Problem. Das, was mir
> schwierigkeiten bereitet ist die monotonie.
>  DIese zeige ich entweder durch:
>  
> [mm]a_{n}\ge a_{n+1}[/mm]
>  
> d.h.: [mm]\bruch{2n+1}{n(n+1)} \ge \bruch{2n+2}{(n+1)(n+2)}[/mm]


Der Bruch rechts ist nicht richtig ! Richtig: [mm]\bruch{2n+1}{n(n+1)} \ge \bruch{2n+3}{(n+1)(n+2)}[/mm]


>  
> wie muss ich in diesem Fall weiter machen?
>  
> oder
>
> [mm]a_{n}-a_{n+1}[/mm]
>  
> d.h.: [mm]\bruch{(2n+1)(n+2)-(2n+3)n}{n(n+1)(n+2)}[/mm] =
> [mm]\bruch{2n+2}{n(n+1)(n+2)}\ge[/mm] 0
>
> reicht das schon aus?


Ja

FRED

>  
> Lg Melisa


Bezug
                
Bezug
Leibnizkriterium: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:41 Mo 15.03.2010
Autor: melisa1

Hallo,

sry hab mich verschrieben, aber wie würde es in diesem Fall weiter gehen?

>
> Der Bruch rechts ist nicht richtig ! Richtig:
> [mm]\bruch{2n+1}{n(n+1)} \ge \bruch{2n+3}{(n+1)(n+2)}[/mm]
>  
>

Lg Melisa

Bezug
                        
Bezug
Leibnizkriterium: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:54 Mo 15.03.2010
Autor: leduart

Hallo
Du hast es ja mit der Differenz schon richtig weiter gemacht, und bist damit fertig
a>b zeigt man immer mit entweder a-b>0 oder mit a/b>1 falls 0<b<a
Gruss leduart

Bezug
                                
Bezug
Leibnizkriterium: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:58 Mo 15.03.2010
Autor: melisa1

Hallo,


ich weiß, dass ich nur eins von beiden brauche, aber wollte trotzdem auch wissen, wie es mit der anderen Variante geht, weil ich gerade für eine Klausur lerne.


Lg Melisa

Bezug
                                        
Bezug
Leibnizkriterium: nur positive Terme
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:06 Mo 15.03.2010
Autor: Roadrunner

Hallo melisa!


Auch der Bruch für [mm] $a_{n}-a_{n+1} [/mm] \ = \ ... \ [mm] \ge [/mm] \ 0$ ist eindeutig positiv, da sowohl Nenner als auch Zähler nur aus ausschließlich positiven Termen besteht.


Gruß vom
Roadrunner


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