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| Aufgabe | Berechne [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{0}^{n}{(1-\bruch{x}{n})^{n}e^{\bruch{x}{2}} dx}, \limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{0}^{n}{(1+\bruch{x}{n})^{n}e^{-2x} dx}
[/mm]
(Die Integrale sind als Lebesgue-Integrale zu verstehen.)
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Hallo
Mein Problem ist, dass n als obere Integrationsgrenze gebraucht wird. Sonst könnte ich ja (im 2. Fall) einfach den Limes hineinziehen und dann stattdessen [mm] e^{-x} [/mm] schreiben und dann integrieren. Aber so verliere ich quasi den Effekt, den der Limes auf die obere Integrationsgrenze hat. Was ist in so einem Fall der erste Schritt, dass man dieses Problem nicht hat?
Danke und Gruss
Björn
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:17 Mo 17.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Björn!
> Berechne
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{0}^{n}{(1-\bruch{x}{n})^{n}e^{\bruch{x}{2}} dx}, \limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{0}^{n}{(1+\bruch{x}{n})^{n}e^{-2x} dx}[/mm]
>
> (Die Integrale sind als Lebesgue-Integrale zu verstehen.)
>
> Hallo
>
> Mein Problem ist, dass n als obere Integrationsgrenze
> gebraucht wird. Sonst könnte ich ja (im 2. Fall) einfach
> den Limes hineinziehen und dann stattdessen [mm]e^{-x}[/mm]
> schreiben und dann integrieren. Aber so verliere ich quasi
> den Effekt, den der Limes auf die obere Integrationsgrenze
> hat. Was ist in so einem Fall der erste Schritt, dass man
> dieses Problem nicht hat?
Tipp: schreibe dein Integral mit einer festen oberen Grenze, also
[mm] \integral_{0}^{n}{(1-\bruch{x}{n})^{n}e^{\bruch{x}{2}} dx}=\integral_{0}^{\infty}{f_n(x)} dx} [/mm]
mit geeignet definierten Funktionen [mm] $f_n$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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Hallo Rainer, danke für deine Antwort
> Tipp: schreibe dein Integral mit einer festen oberen
> Grenze, also
>
> [mm]\integral_{0}^{n}{(1-\bruch{x}{n})^{n}e^{\bruch{x}{2}} dx}=\integral_{0}^{\infty}{f_n(x)} dx}[/mm]
>
> mit geeignet definierten Funktionen [mm]f_n[/mm].
>
> Viele Grüße
> Rainer
aber es ist wohl nicht so einfach, dass ich dass ich schreiben kann:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{0}^{n}{{(1-\bruch{x}{n})}^ne^{\bruch{x}{2}}dx}=\integral_{0}^{\infty}{\limes_{n\rightarrow\infty}{(1-\bruch{x}{n})}^ne^{\bruch{x}{2}}dx}
[/mm]
für mich würde das Sinn ergeben, aber geht das so einfach?
Gruss
Björn
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:27 Di 18.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Björn!
> Hallo Rainer, danke für deine Antwort
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> > Tipp: schreibe dein Integral mit einer festen oberen
> > Grenze, also
> >
> > [mm]\integral_{0}^{n}{(1-\bruch{x}{n})^{n}e^{\bruch{x}{2}} dx}=\integral_{0}^{\infty}{f_n(x)} dx}[/mm]
>
> >
> > mit geeignet definierten Funktionen [mm]f_n[/mm].
> >
> > Viele Grüße
> > Rainer
>
>
> aber es ist wohl nicht so einfach, dass ich dass ich
> schreiben kann:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{0}^{n}{{(1-\bruch{x}{n})}^ne^{\bruch{x}{2}}dx}=\integral_{0}^{\infty}{\limes_{n\rightarrow\infty}{(1-\bruch{x}{n})}^ne^{\bruch{x}{2}}dx}[/mm]
>
> für mich würde das Sinn ergeben, aber geht das so einfach?
Nein, das geht nicht so einfach.
Ich gebe dir noch einen Tipp: definiere [mm] $f_n$ [/mm] so, dass [mm] $f_n(x) [/mm] = 0 $ für [mm] $x\ge [/mm] n$.
Viele Grüße
Rainer
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