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Laplace e-Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:14 So 10.02.2008
Autor: ebarni

Aufgabe
Wie ist die Laplace-Transformierte von [mm] e^{x}[/mm]?

Hallo zusammen,

die Antwort laut Skript ist:

[mm] L[e^{x}] = \bruch{1}{s-1}[/mm]. Das ist mir nicht so ganz klar.

Ich weiß, dass die Laplace-Transformierte von [mm] e^{a*t} = \bruch{1}{s-a}[/mm] ist.

Selbst wenn ich a=1 setze, bleibt doch das x stehen und was ist mit dem t der Zeitfunktion?

In der Zeitfunktion muss doch eigentlich immer ein t sein, oder? Was bedeutet das x in der e-Funktion und warum ist kein t da? Oder soll das x das t sein?

Für eure Hilfe wäre ich sehr dankbar!

Viele Grüße, Andreas

        
Bezug
Laplace e-Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:09 So 10.02.2008
Autor: zahllos

Hallo,

die Laplacetransformation einer Funktion f(x) ist durch die Formel:

F(s) = [mm] \int_{0}^{\infty} [/mm] f(x) [mm] e^{-sx}\, [/mm] dx  definiert.

Dabei wird der Funktion f, für die das uneigentliche Integral existiert, die transformierte Funktion F zugeordnet. Ob man bei f die Variable als x oder t schreibt, ist eigentlich unwichtig.

Für f(x) = [mm] e^x [/mm] erhält man:

F(s) =  [mm] \int_{0}^{\infty} e^x e^{-sx}\, [/mm] dx  = [mm] \int_{0}^{\infty} e^{(1-s)x}\, [/mm] dx  = [mm] \frac{1}{1-s} [e^{(1-s)x}]^\infty_0 [/mm] = [mm] \frac{-1}{1-s} [/mm] =  [mm] \frac{1}{s-1} [/mm]

Dabei muss s > 1 sein (sonst würde das uneigentliche Integral nicht existieren), oder allgemeiner Re s > 1, wenn s eine komplexe zahl ist.

Bezug
                
Bezug
Laplace e-Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:18 So 10.02.2008
Autor: ebarni

Hallo zahllos!

Vielen Dank für Deine Erklärung, jetzt ist es mir klar.

Also ist es so, dass man sagen kann

$ [mm] L[e^{a\cdot{}x}](s) [/mm] = [mm] \bruch{1}{s-x} [/mm] $

und das hier der Spezialfall $ [mm] e^{x} [/mm] $ mit a=1 vorliegt und deshalb:

$ [mm] L[e^{1\cdot{}x}](s) [/mm] = [mm] L[e^{x}](s) [/mm] = [mm] \bruch{1}{s-1} [/mm] $ gilt.

Viele Grüße und nochmals: Vielen Dank!

Andreas



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