Landau-Symbol < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:05 Di 16.10.2012 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | | Es gilt [mm] e^x [/mm] = 1 + x + [mm] O(x^2) [/mm] für x->0 |
[mm] |e^x-1-x| [/mm] <= [mm] |x|^2 [/mm] wenn |x|<= 3/2
Nun ist meine Frage, wieso da ein groß O steht und kein klein o?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:10 Di 16.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Es gilt [mm]e^x[/mm] = 1 + x + [mm]O(x^2)[/mm] für x->0
> [mm]|e^x-1-x|[/mm] <= [mm]|x|^2[/mm] wenn |x|<= 3/2
>
> Nun ist meine Frage, wieso da ein groß O steht und kein
> klein o?
Weil das falsch ist ! Würde da stehen
[mm]e^x[/mm] = 1 + x + [mm]o(x^2)[/mm] für x->0,
so würde das ja bedeuten, dass
[mm] \bruch{e^x-1-x}{x^2} \to [/mm] 0 für x [mm] \to [/mm] 0.
Das ist aber nicht richtig.
FRED
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:15 Di 16.10.2012 | | Autor: | Lu- |
Hallo,
danke für die Antwort.
ABer $ [mm] e^x [/mm] $ = 1 + x + $ [mm] O(x^2) [/mm] $
heißt doch ancshaulich gesprochen [mm] e^x [/mm] -1 -x wächst nicht wesentlich schneller als [mm] x^2
[/mm]
nun habe ich aber mit $ [mm] |e^x-1-x| [/mm] $ <= $ [mm] |x|^2 [/mm] $ wenn |x|<= 3/2
gezeigt, dass das nicht so stimmt=??
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:17 Di 16.10.2012 | | Autor: | fred97 |
$ [mm] e^x [/mm] $ = 1 + x + $ [mm] O(x^2) [/mm] $ ( x [mm] \to [/mm] 0)
bedeutet:
[mm] \bruch{e^x-1-x}{x^2} [/mm] ist in einer Umgebung von 0 beschränkt.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:23 Di 16.10.2012 | | Autor: | Lu- |
Hallo,
danke für die Antwort.
Meinst du nicht eher die Grenzwerte der beiden terme sind beschränkt in der Umgebung von 0?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:33 Di 16.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> danke für die Antwort.
> Meinst du nicht eher die Grenzwerte der beiden terme sind
> beschränkt in der Umgebung von 0?
nein. Was soll denn das bedeuten: " Grenzwert ist beschränkt" ????
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:39 Di 16.10.2012 | | Autor: | Lu- |
Hallo,
enstschuldige meinte natürlich den Limes superior.
denn wenn f(x) = o (g(x)) für x-> a
dann ist [mm] \overline{lim}_{x->a} [/mm] | [mm] \frac{f(x)}{g(x)}| [/mm] < + [mm] \infty
[/mm]
also der Limessuperior des ausdruckes | [mm] \frac{f(x)}{g(x)}| [/mm] ist beschränkt
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:45 Di 16.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> enstschuldige meinte natürlich den Limes superior.
>
> denn wenn f(x) = o (g(x)) für x-> a
> dann ist [mm]\overline{lim}_{x->a}[/mm] | [mm]\frac{f(x)}{g(x)}|[/mm] < +
> [mm]\infty[/mm]
Du meinst sicher oben f(x) = O (g(x)) für x-> a
>
> also der Limessuperior des ausdruckes | [mm]\frac{f(x)}{g(x)}|[/mm]
> ist beschränkt
Nicht beschränkt, sondern der Limes Superior existiert und ist [mm] \in \IR.
[/mm]
Und, wie ist das bei
$ [mm] \bruch{e^x-1-x}{x^2} [/mm] $ ?
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:48 Di 16.10.2012 | | Autor: | Lu- |
Aber was meintest du dann mit dem Beschränkt? Wieso gilt das?
> $ [mm] \bruch{e^x-1-x}{x^2} [/mm] $
Das konv gegen a [mm] \in \IR [/mm] ist also die Notation O dafür richtig.
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:01 Di 16.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Aber was meintest du dann mit dem Beschränkt?
Damit hast Du angefangen !
Was ich sagen wollte: man sagt nicht "ein Grenzwert ist beschränkt", sondern man sagt "der Grenzwert existiert" (wenn er das tut).
> Wieso gilt
> das?
>
> > [mm]\bruch{e^x-1-x}{x^2}[/mm]
> Das konv gegen a [mm]\in \IR[/mm] ist also die Notation O dafür
> richtig.
Und wie groß ist a ?
FRED
>
> LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:58 Sa 20.10.2012 | | Autor: | Lu- |
> Und wie groß ist a ?
Das habe ich leider noch immer nicht herausgefunden...
Kann ich den wert den exakt bestimmen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:06 Sa 20.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> > Und wie groß ist a ?
>
> Das habe ich leider noch immer nicht herausgefunden...
> Kann ich den wert den exakt bestimmen?
Ja.
Mit L'Hospital oder mit Potenzreihen.......
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:11 Sa 20.10.2012 | | Autor: | Lu- |
[mm] lim_{x->0} [/mm] $ [mm] \bruch{e^x-1-x}{x^2} [/mm] $ = [mm] lim_{x->0} [/mm] $ [mm] \bruch{x e^x-1}{2x} [/mm] $
nun habe ich aber einen ausdruck der form "-1/0" da darf ich doch nicht Hopital anwenden?
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:22 Sa 20.10.2012 | | Autor: | Lu- |
Ach heute krieg ich nichts mehr hin..
$ [mm] lim_{x->0} [/mm] $ $ [mm] \bruch{e^x-1-x}{x^2} [/mm] $ = $ [mm] lim_{x->0} [/mm] $ $ [mm] \bruch{ e^x-1}{2x} [/mm] $= $ [mm] lim_{x->0} [/mm] $ $ [mm] \bruch{ e^x}{2} [/mm] $=1/2
|
|
|
| |
|
Korrekt=)! D.h. das heisst [mm] e^x=1+x+O(x^2) [/mm] für x->0 stimmt
|
|
|
|
