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Hallo,
ich habe eine kurze Frage zu folgender Reihe:
[mm]\summe_{k=0}^{\infty} \left (\bruch{i + 1}{2} \right)^k \cdot sin(k)[/mm]
Dass [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \left (\bruch{i + 1}{2} \right)^k[/mm] den Grenzwert [mm]1 + i[/mm] hat, weiß ich. Aber mit [mm]\summe_{k=0}^{\infty} sin(k)[/mm] kann ich nichts anfangen. Sinus ist ja nicht konvergent, sondern bewegt sich periodisch zwischen -1 und 1. Welchen Einfluss hat der Sinus auf den Grenzwert der Reihe?
:-/
VG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:36 Fr 06.10.2006 | | Autor: | chrisno |
> Hallo,
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> ich habe eine kurze Frage zu folgender Reihe:
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> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \left (\bruch{i + 1}{2} \right)^k \cdot sin(k)[/mm]
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> Dass [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \left (\bruch{i + 1}{2} \right)^k[/mm]
> den Grenzwert [mm]1 + i[/mm] hat, weiß ich. Aber mit
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} sin(k)[/mm] kann ich nichts anfangen.
Das brauchst Du ja auch nicht. Du kannst die Summe ja nicht so zerlegen.
> Sinus ist ja nicht konvergent, sondern bewegt sich
> periodisch zwischen -1 und 1. Welchen Einfluss hat der
> Sinus auf den Grenzwert der Reihe?
Genau diese Beschränktheit des Sinus hilft Dir weiter. Damit kannst Du zumindest schon mal die Konvergenz der Reihe beweisen. Aus
[mm]\summe_{k=0}^{\infty} \left (\bruch{i + 1}{2} \right)^k[/mm] ist jedes Glied größer (oder gleich) als in
[mm]\summe_{k=0}^{\infty} \left (\bruch{i + 1}{2} \right)^k \cdot | sin(k)|[/mm] Wenn die Betragsfolge konvergiert, dann die alternierende erst recht.
(So genau erinnere ich mich nach 20 Jahren nicht mehr an die einzelnen Sätze)
Falls Du den Grenzwert brauchst, dann hast Du noch ein Problem.
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> :-/
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> VG
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