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Kurvendiskussion: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:48 So 10.09.2006
Autor: essence

Aufgabe
Gegeben sind díe Funktionen fk mit [mm] fk(x)=2*x^{3} -3*k*x^{2}+k^{3} [/mm] ; k [mm] \in [/mm] IR

Untersuche allgemein die Funktion fk. Skizziere den Graphen für k=-1 und 1

Kann mir da jmd helfen? ich kanns einfach nicht :((((



Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:21 So 10.09.2006
Autor: Teufel

Hallo!
Wobei hast du denn genau Probleme? Wie eine normale Kurvenuntersuchung geht, weißt du, oder?

Bezug
                
Bezug
Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:30 So 10.09.2006
Autor: essence

ja ne normale kurvendisskusion kann ich

Bezug
                        
Bezug
Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:50 So 10.09.2006
Autor: M.Rex

Hallo Annika

Dann zeige ich dir das Prinzip mal am Beispeil der Extrema:

Es gilt: [mm] f_{k}(x)=2x³ [/mm] -3kx²+k³
Also sind die Ableitungen:

[mm] f_{k}^{'}(x) [/mm] = 6x² - 6kx
und
[mm] f_{k}^{''}(x)= [/mm] 12x - 6k

Fur Extremstellen [mm] x_{e} [/mm] gilt nun:
[mm] 6x_{3}² [/mm] - [mm] 6kx_{e} [/mm] = 0 [mm] \gdw 6x_{e}(x-k) [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow x_{e_{1}} [/mm] = 0, [mm] x_{e_{2}} [/mm] = k

Prüfen wir nun, ob es ein Hoch oder Tiefpunkt wird.
[mm] f_{k}^{''}(k) [/mm] = 12x - 6k = 6k [mm] \begin{cases} >0, \mbox{für } k>0 \\ <0 \mbox{ für } k<0 \end{cases} [/mm]
[mm] f_{k}^{''}(0) [/mm] = -6k [mm] \begin{cases} <0, \mbox{ für } k>0 \\ >0 \mbox{für } k<0 \end{cases} [/mm]

Also ist [mm] E_{1} (k;f_{k}(k)) [/mm] = (k;0) ein Tiefpunkt für k > 0 und ein Hochpunkt für k<0, und [mm] E_{2} [/mm] (0;k³) ein Hochpunkt für k>0 und ein TP für k<0.

Die Wendepunkte funktionieren ähnlich.
Und wenn du genau gelesen hast, habe ich dir indirekt auch die erste Nullstelle gegeben, so dass du die Polynomdivision durchführen kannst, um weitere zu bestimmen.

Marius

Bezug
        
Bezug
Kurvendiskussion: Ansatz
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:01 So 10.09.2006
Autor: DoktorQuagga

Hi,

du kannst ja eine "normale" Kurvediskussion. Bei einem Funktionenschar ändert sich eigentlich nicht viel:
1. Definitionsbereich
2. Ableitungen
3. Symmetrie bestimmen
4. Nullstellen
5. Extremstellen (bei x = 0 V x = k)
6. Wendestellen (bei x = k/2)

Erhälst du in den "Hinreichenden Bedingungnen" in 6. und/oder 7. musst du mit dem "Vorzeichenkriterium" weiterrechnen.

7. Verhalten gegen "unendlich" und "negativ unenedlich"
8. Skizze für k = 1 bzw. k = -1 (hier musst du in die erhaltenen Extrem- und Wendepunkte, die ja von k abhängig sind (s. oben), k = 1 bzw. -1 einsetzen und danach die "neuen" Punkte auf dein Koordinatensystem eintragen.

Naja, das war's dann auch...
Ich hoffe, das bringt dich weiter!

DoktorQuagga



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