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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:43 Sa 14.03.2015 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Seien A,B [mm] \subseteq \IR [/mm] beliebige Teilmengen. Man zeige, dass für den Rand von A [mm] \times [/mm] B [mm] \subseteq \IR^2 [/mm] gilt
[mm] \partial(A\times B)=(\partial [/mm] A [mm] \times \overline{B}) \cup (\overline{A} \times \partial [/mm] B) |
Hallo,
Eine Skizze ist gemacht und dadurch verstehe ich die Gleichheit auch intuitiv aber der mathematische Beweis fehlt mir noch.
x [mm] \in \partial [/mm] A [mm] \gdw [/mm] jede Umgebung von a hat Punkt in A, sowie [mm] \IR\setminus [/mm] A
Ich hab mich im Internet umgeschaut und die Gleichheit [mm] \partial [/mm] A= [mm] \overline{A}\setminus A^o [/mm] gesehen und auch bewiesen.
[mm] \partial [/mm] (A [mm] \times [/mm] B) = [mm] \overline{A \times B}\setminus [/mm] (A [mm] \times B)^o
[/mm]
Aber nun müsste ich ja zeigen [mm] (A\times B)^o [/mm] = [mm] A^o \times B^o
[/mm]
Sei (x,y) [mm] \in (A\times B)^o [/mm] d.h. [mm] \exists \epsilon>0: B_{\epsilon} [/mm] (x,y) [mm] \subseteq [/mm] (A [mm] \times [/mm] B) (Da ja [mm] \IR^2 [/mm] ein metrischer Raum ist und ich z.B die euklidische Metrik verwende)
[mm] \iff \{(x',y') \in \IR^2 :||(x,y)-(x',y')||<\epsilon\}=\{(x',y')\in \IR^2|(x-x')^2+(y-y')^2 < \epsilon^2\}\subseteq [/mm] (A [mm] \times [/mm] B)
ZZ.: (x,y) [mm] \in A^o \times B^o [/mm] d.h. [mm] \exists \epsilon_1>0: B_{\epsilon_1} [/mm] (x) [mm] \subseteq [/mm] A und [mm] \exists \epsilon_2>0: B_{\epsilon_2} [/mm] (y) [mm] \subseteq [/mm] B
Wähle [mm] \epsilon_1:=\epsilon.
[/mm]
Sei x' [mm] \in B_{\epsilon} [/mm] (x) d.h. [mm] ||x-x'||<\epsilon
[/mm]
Ich muss zeigen x' [mm] \in [/mm] A und damit habe ich Schwiergkeiten.
Vlt geht das Bsp. auch einfacher ohne [mm] \partial [/mm] A= [mm] \overline{A}\setminus A^o [/mm] mit einen anderen Weg.
LG,
sissi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Mo 16.03.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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