Kovarianzmatrix Univariate < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:44 Fr 19.07.2019 | | Autor: | magics |
| Aufgabe | Jede beliebige Definition, wie man eine Kovarianzmatrix berechnet, beginnt zunächst mit einem Spaltenvektor:
[mm] $\displaystyle \mathbf [/mm] {X} [mm] =(X_{1},X_{2},...,X_{n})^{\mathrm {T} }$
[/mm]
Damit wird das die Kovarianzmatrix definiert:
[mm] $\displaystyle \operatorname [/mm] {K} [mm] _{X_{i}X_{j}}=\operatorname [/mm] {cov} [mm] [X_{i},X_{j}]=\operatorname [/mm] {E} [mm] [(X_{i}-\operatorname [/mm] {E} [mm] [X_{i}])(X_{j}-\operatorname [/mm] {E} [mm] [X_{j}])]$ [/mm] |
Hallo und guten Abend,
ich verstehe das Konzept der Kovarianzmatrix am Beispiel einer univariaten Zufallsvariablen nicht. Ich dachte bisher, dass man Kovarianz immer nur an zwei- oder höherdimensionalen Datensätzen berechnen kann. Dafür gäbe es dann ja auch diese Darstellung zwei Dimensionen: [mm] $\displaystyle \operatorname [/mm] {Cov} [mm] (\mathbf [/mm] {x} [mm] ,\mathbf [/mm] {y} [mm] )=\operatorname [/mm] {E} [mm] {\bigl (}(\mathbf [/mm] {x} [mm] -{\boldsymbol {\mu }})(\mathbf [/mm] {y} [mm] -{\boldsymbol {\nu }})^{\top }{\bigr )}$
[/mm]
Bei einer univariaten Datenmenge hat man doch einfach nur irgendwelche Zahlen... wo soll da Korrelation herkommen? Ich kann diese ja nur entlang einer Dimension betrachten..?
Beste Grüße
Thomas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:14 Sa 20.07.2019 | | Autor: | magics |
Nachdem ich ein Beispiel selbst gerechnet habe, stelle ich fest, dass der Spaltenvektor $ [mm] \displaystyle \mathbf [/mm] {X} [mm] =(X_{1},X_{2},...,X_{n})^{\mathrm {T} } [/mm] $ ein Vektor von Zufallsvariablen meint und wir damit gar keine univariate Reihe haben... macht ja auch sowas von keinen Sinn.
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Hiho,
auch wenn du deine Frage (fast) selbst beantwortet hast, noch eine etwas ausführlichere Antwort:
Nehmen wir also an du hast eine Folge [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$ [/mm] von univariaten Zufallswerten.
Man koennte nun annehmen, dass dies alle Realisierungen einer Zufallsvariablen X sind, zu unterschiedlichen [mm] $\omega$s, [/mm] also: [mm] $x_i [/mm] = [mm] X(\omega_i)$
[/mm]
In diesem Fall ist dein Einwand berechtigt, man kann keine Kovarianz von einer einzigen Zufallsvariablen berechnen.
Im Allgemeinen nimmt man aber an, dass die [mm] x_i [/mm] Realisierungen sind von verschiedenen Zufallsvariablen, die alle derselben Verteilung unterliegen, zum selben [mm] $\omega$.
[/mm]
D.h. [mm] $x_i [/mm] = [mm] X_i(\omega)$
[/mm]
Und dann kannst du natürlich die Kovarianz der obigen [mm] $X_i$ [/mm] bestimmen.
Gruss,
Gono
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