Konvergenzradius einer Potenze < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:25 Mi 10.02.2010 | | Autor: | wilmi |
| Aufgabe | | Ich habe 2 Fragen: |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
1. Frage
Wir hatten in der Übung, dass der Konvergenzradius von Summe k=0 bis unendlich von e^ik * [mm] z^k [/mm] gleich 1 ist. Ich bekomme da [mm] 1/e^i [/mm] raus... Wo liegt mein Fehler bzw. kann mir einer das vorrechen.
Zweite Frage .
Der Konvergenzradius von Summe von [mm] (k3^k)^{-1} [/mm] * [mm] (2x-1)^k [/mm] .
Ich bekomme mit dem quotienten ähnlichen Kriterium etwas anderes heraus als mit dem Wurzelkriterium , bei dem ich 3/8 heraus bekomme raus... und beide Ergebnisse stimmen nicht mit der Lösung aus meinem Buch über ein. Das Ergebnis lautet dort: (1/2) * 3^(1/3) . Wäre schön wenn mir jemand die Rechnung erläutern könnte... Ich verzweifele noch...
Vielen Dank im Vorraus
Wilmi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:05 Mi 10.02.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Wilmi!
> Ich habe 2 Fragen:
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> 1. Frage
>
> Wir hatten in der Übung, dass der Konvergenzradius von
> Summe k=0 bis unendlich von [mm]e^ik *z^k[/mm] gleich 1 ist. Ich
> bekomme da [mm]1/e^i[/mm] raus... Wo liegt mein Fehler bzw. kann mir
> einer das vorrechen.
Du hast vergessen, den Betrag zu nehmen: [mm] $|e^i|=1$.
[/mm]
> Zweite Frage .
>
> Der Konvergenzradius von Summe von [mm](k3^k)^{-1}*(2x-1)^k[/mm]
> .
> Ich bekomme mit dem quotienten ähnlichen Kriterium etwas
> anderes heraus als mit dem Wurzelkriterium , bei dem ich
> 3/8 heraus bekomme raus... und beide Ergebnisse stimmen
> nicht mit der Lösung aus meinem Buch über ein. Das
> Ergebnis lautet dort: (1/2) * 3^(1/3) . Wäre schön wenn
> mir jemand die Rechnung erläutern könnte... Ich
> verzweifele noch...
Schreib mal die Summe richtig hin. Das was du oben geschrieben hast, passt zu keinem der beiden Ergebnisse: Der Konvergenzradius von
[mm] \summe_k (k3^k)^{-1}*(2x-1)^k[/mm]
ist $3/2$ um den Entwicklungspunkt $1/2$, denn der Koeffizient [mm] $a_k= \bruch{2^k}{k3^k}$, [/mm] und damit [mm] $\bruch{a_k}{a_{k+1}} [/mm] = [mm] \bruch{3}{2} \bruch{k+1}{k}$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:29 Mi 10.02.2010 | | Autor: | wilmi |
Ah, gut , den betrag hab ich völlig vergessen dank!
Zu der anderen Aufgabe, da hab ich mich leider vertippt. Die aufgabe lautet korrekt: Summe von [mm] (k3^k)^{-1}*(2x-1)^{3k+2}.
[/mm]
Wäre nett wenn du da mal ein Auge drauf werfen könntest.
Wie gesagt die Lösung soll sein: $ [mm] (1/2)*3^{1/3} [/mm] $.
Vielen Dank
LG Wilmi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:39 Mi 10.02.2010 | | Autor: | fred97 |
Sie [mm] $b_k [/mm] = [mm] (k3^k)^{-1}\cdot{}(2x-1)^{3k+2} [/mm] $
Rechne nach: lim sup [mm] $\wurzel[k]{|b_k|}= \bruch{1}{3}|2x-1|^3 [/mm] <1 [mm] \gdw [/mm] |x-1/2| < [mm] (1/2)\cdot{}3^{1/3} [/mm] $
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:54 Mi 10.02.2010 | | Autor: | wilmi |
Gut soweit hab ich es verstnden. Eine Frage hab ich aber noch und zwar wie komme ich auf die Ungleichung
[mm] \wurzel[k]{|b_k|}= \bruch{1}{3}|2x-1|^3 [/mm] <1 . Dieses <1 wo bekomme ich das her?
Vielen dank
Wilmi
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> Gut soweit hab ich es verstnden. Eine Frage hab ich aber
> noch und zwar wie komme ich auf die Ungleichung
> [mm]\wurzel[k]{|b_k|}= \bruch{1}{3}|2x-1|^3[/mm] <1 . Dieses <1 wo
> bekomme ich das her?
Hallo,
das ist das Wurzelkriterium für die Konvergenz von Reihen.
Du kannst den Konvergenzradius auch mit Cauchy-Hardamard ausrechnen:
Für [mm] \sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n [/mm] ist [mm] r=\frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt[n]{|a_n|}\right)}. [/mm]
Das fällt Dir möglicherweise etwas leichter, wenn Du Dir Deine Reihe passend zurechtzupfst:
[mm] \summe\bruch{1}{k*3^k}(2x-1)^{3k+2}=(2x-1)^2\summe\bruch{1}{k*3^k}(2x-1)^{3k}=(2x-1)^2\summe\bruch{2^{3k}}{\bruch{3k}{3}*3^{\bruch{3k}{3}}}(x-\bruch{1}{2})^{3k}
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:21 Mi 10.02.2010 | | Autor: | wilmi |
Danke an alle für die Hilfe!
Jetzt hab ich es verstanden!
Liebe Grüße Wilmi
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