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| Aufgabe | | Bestimme den Konvergenzradius der Reihe [mm]\sum_{n=0}^{\infty} z^{2^n}[/mm] |
Ich habe diese Frage auf keiner anderen Internetseite gestellt.
Hi,
ich bin oben mit dem Cauchy-Hadamard-Kriterium herangegangen, aber mein Problem ist das mein n dabei verschwindet und das möchte ich gerne behalten um den limes zu betrachten.
[mm]\frac{1}{L}[/mm]
[mm]L := \limsup_{n \to \infty} (\wurzel[n]{|a_n|})[/mm]
Wenn ich jetzt die Wurzel ziehe bekomm ich:
[mm]\wurzel[n]{z^{2^n}} = z^2[/mm]
und wenn ich jetzt davon den lim sup betrachten will bekomm ich ein Problem, da mir ein n fehlt.
[mm]\limsup_{n\to \infty} z^2=...[/mm]
Grüße,
Mareike
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:19 Do 31.01.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
nun dass dein n weggeht ist kein Problem. Wenn du z.B. den Limes von 1 für x gegen irgendetwas ist dieser 1, da dieser nicht von x abhängt. Genauso verhält sich das für deinen lim sup für n gegen unendlich. Da dein Limes nicht von n abhängt, ist dieser für alle n gleich. Somist gilt lim sup [mm] (z^2)=z^2.
[/mm]
LG
Kroni
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Hallo Mareike!
Du hast falsch umgeformt, denn: [mm]\wurzel[n]{z^{2^n}} \ \red{\not=} \ z^2[/mm] !!
Es gilt: [mm] $\wurzel[n]{z^{2^n}} [/mm] \ = \ [mm] x^{\bruch{2^n}{n}}$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:36 Do 31.01.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
es gilt doch: [mm] z^{2n}=z^{2^n}) [/mm] und davon die n-te Wurzel ist [mm] z^2.
[/mm]
LG
Kroni
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:48 Do 31.01.2008 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Kroni!
Du meinst hier wohl folgendes  Potenzgesetz: [mm] $\left( \ z^2 \ \right)^n [/mm] \ = \ [mm] z^{2*n}$ [/mm] .
Aber in dieser Aufgabe interpretiere ich [mm] $z^{2^n} [/mm] \ = \ [mm] z^{\left( \ 2^n \ \right)} [/mm] \ [mm] \not= [/mm] \ [mm] z^{2n}$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:59 Do 31.01.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
habs mir grad nochmal getext angesehen, und dann ist es offensichtlich, dass du recht hast.
Liebe Grüße,
Kroni
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