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Konvergenzradius: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:47 So 04.06.2006
Autor: andyb

Aufgabe
Bestimme den Konvergenzradius und das Konvergenzintervall für die Potenzreihen. Die Beziehung  [mm] \wurzel[k]{k}=1 [/mm] kann ohne Beweis benutzt werden.
a.)  [mm] \summe_{k=1}^{ \infty} \bruch{(x-3)^k}{2^kk^2} [/mm]

Hallo ich versuche gerade diese Aufgabe mit Hife einer Mitschrift nach zu vollziehen.

Nun geht es in der Lösung weiter mit [mm] c_{k}= \bruch{1}{2^kk^2} [/mm]

Ab diesem Schritt ist mir auch alles klar. Die Cauchy Formel und die gegebene Beiziehung benutzen und man kommt drauf, dass die Folge gegen   [mm] \bruch{1}{2} [/mm] geht.

Was mir nur nicht klar ist was mit dem [mm] (x-3)^k [/mm] passiert. Warum wird das einfach zu 1? Kann mir da jmd. weiterhelfen. Danke.

        
Bezug
Konvergenzradius: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:32 So 04.06.2006
Autor: felixf

Hallo Andy!

> Bestimme den Konvergenzradius und das Konvergenzintervall
> für die Potenzreihen. Die Beziehung  [mm]\wurzel[k]{k}=1[/mm] kann
> ohne Beweis benutzt werden.

Das stimmt nicht. Du meinst [mm] $\lim_{k\to\infty} \sqrt[k]{k} [/mm] = 1$!

>  a.)  [mm]\summe_{k=1}^{ \infty} \bruch{(x-3)^k}{2^kk^2}[/mm]
>  Hallo
> ich versuche gerade diese Aufgabe mit Hife einer Mitschrift
> nach zu vollziehen.
>  
> Nun geht es in der Lösung weiter mit [mm]c_{k}= \bruch{1}{2^kk^2}[/mm]
>  
> Ab diesem Schritt ist mir auch alles klar. Die Cauchy
> Formel und die gegebene Beiziehung benutzen und man kommt
> drauf, dass die Folge gegen   [mm]\bruch{1}{2}[/mm] geht.

Du meinst, [mm] $\sqrt[k]{c_k}$ [/mm] geht gegen [mm] $\frac{1}{2}$. [/mm] Du musst bei sowas etwas genauer sein!

> Was mir nur nicht klar ist was mit dem [mm](x-3)^k[/mm] passiert.
> Warum wird das einfach zu 1? Kann mir da jmd. weiterhelfen.
> Danke.

Hast du dir mal die Cauchyformel angeschaut? Sie besagt: Wenn du eine Potenzreihe [mm] $\sum_{k=0}^\infty c_k [/mm] (x - [mm] x_0)^k$ [/mm] hast (mit Entwicklungspunkt [mm] $x_0$), [/mm] dann ist der Konvergenzradius gegeben durch $r := [mm] \frac{1}{\limsup \sqrt[k]{|c_k|}}$, [/mm] d.h. die Reihe konvergiert absolut fuer $x [mm] \in \left]x_0 - r, x_0 + r\right[$ [/mm] und divergiert fuer $|x - [mm] x_0| [/mm] > r$.

LG Felix


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