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Forum "Folgen und Reihen" - Konvergenz zweier Folgen
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Konvergenz zweier Folgen: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:28 Do 24.11.2011
Autor: sarah88

Aufgabe
Sei [mm] a_1>0 [/mm] und [mm] a_{n+1}=\bruch{a_n}{1+na_n^2} [/mm] für [mm] n\in\IN. [/mm] Untersuchen Sie die Folgen [mm] {a_n}_{n\in\IN} [/mm] und [mm] {na_n}_{n\in\IN} [/mm] auf Konvergenz. Bestimmen Sie die Grenzwerte, falls diese Folgen konvergieren.

hallo,

ich bei dieser aufgabe probleme. zunächst weiß ich nicht wie die folgen [mm] a_n [/mm] und [mm] na_n [/mm] aussehen und wie man konvergenz an sich zeigt. könnte mir jemand erklären wie ich vorgehen muss? :)

        
Bezug
Konvergenz zweier Folgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:06 Do 24.11.2011
Autor: kamaleonti


> Sei [mm]a_1>0[/mm] und [mm]a_{n+1}=\bruch{a_n}{1+na_n^2}[/mm] für [mm]n\in\IN.[/mm]
> Untersuchen Sie die Folgen [mm]{a_n}_{n\in\IN}[/mm] und
> [mm]{na_n}_{n\in\IN}[/mm] auf Konvergenz. Bestimmen Sie die
> Grenzwerte, falls diese Folgen konvergieren.

zunächst zur Konvergenz von [mm] a_n. [/mm]

a) Zeige [mm] a_n>0 [/mm] für alle [mm] n\in\IN, [/mm] also [mm] a_n [/mm] ist nach unten beschränkt durch Null.

b) Zeige, dass [mm] a_n [/mm] monoton fallend ist:

        [mm] a_{n+1}-a_n<0 [/mm] für [mm] n\in\IN. [/mm]

Nun konvergiert eine monoton fallend und nach unten beschränkte Folge bekanntlich gegen ein [mm] a\in\IR. [/mm] Für dieses muss gelten:

        [mm] a=\lim_{n\to\infty}\frac{a}{1+n*a^2}. [/mm]

LG

Bezug
                
Bezug
Konvergenz zweier Folgen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:18 Fr 25.11.2011
Autor: sarah88

danke das hat mir geholfen :)

Bezug
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