Konvergenz zeigen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:33 Sa 29.12.2007 | | Autor: | eumel |
| Aufgabe | Zeigen sie, dass [mm] \summe_{k=1}^{\infty}z^k/k [/mm] konvergiert, wobei
[mm] z\in [/mm] S1 [mm] \1, $S1:=\{z\in\IC | |z|=1\}$ [/mm] . |
Hello =)
kurz vor ab: kann man die reihe so [mm] a_k:=z^k/k [/mm] definieren?
dann mit dem wurzelkriterium zeigen, dass die k_te wurzel aus [mm] a_k [/mm] eben kleiner eins ist?
oder ist das nicht erlaubt?
stünde dort nicht "zeigen sie, .... konvergiert" hätte ich angenommen, dass das teil eben nicht konvergiert, da ja |z| = 1 und 1/k eine harmonische reihe darstellt die ja eben nicht konvergiert.....
weiß jemand rat? zumindest einen tipp?
gr
eumel
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> Zeigen sie, dass [mm]\summe_{k=1}^{\infty}z^k/k[/mm] konvergiert,
> wobei
> [mm]z\in[/mm] S1 [mm]\1,[/mm] [mm]S1:=\{z\in\IC | |z|=1\}[/mm] .
> Hello =)
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> kurz vor ab: kann man die reihe so [mm]a_k:=z^k/k[/mm] definieren?
> dann mit dem wurzelkriterium zeigen, dass die k_te wurzel
> aus [mm]a_k[/mm] eben kleiner eins ist?
> oder ist das nicht erlaubt?
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> stünde dort nicht "zeigen sie, .... konvergiert" hätte ich
> angenommen, dass das teil eben nicht konvergiert, da ja |z|
> = 1 und 1/k eine harmonische reihe darstellt die ja eben
> nicht konvergiert.....
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> weiß jemand rat? zumindest einen tipp?
Für $z=1$ kann die Reihe in der Tat nicht konvergieren (harmonische Reihe). Ich würde an Deiner Stelle die Partialsummen [mm] $s_n [/mm] := [mm] \sum_{k=1}^n \frac{z^k}{k}$ [/mm] explizit berechnen und dann untersuchen, wie sich dieser explizite Ausdruck für [mm] $s_n$ [/mm] für [mm] $n\rightarrow \infty$ [/mm] verhält. Die Bedingung, dass $|z|=1$ sein muss, könntest Du durch Übergang zur Polardarstellung [mm] $z=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}$, $\varphi\in\IR$, [/mm] ins Spiel bringen. Du würdest also die Existenz des Limes [mm] $\lim_{n\rightarrow \infty}s_n(\varphi)$, [/mm] in Abhängigkeit von [mm] $\varphi$, [/mm] untersuchen.
Beachte, zwecks expliziter Berechung der [mm] $s_n$, [/mm] dass gilt:
[mm]\frac{\partial}{\partial z}\sum_{k=1}^n \frac{z^k}{k}=\sum_{k=1}^n z^{k-1}=\sum_{k=0}^{n-1}z^k=\frac{z^n-1}{z-1}[/mm]
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:50 Sa 29.12.2007 | | Autor: | eumel |
aber es gilt ja auch summe, n=1 --> oo : an ist konvergent, wenn [mm] s_n, [/mm] folge der partialsummen eine cauchyfolge ist.
kann man damit auch arbeiten?
wie kann ich denn den ausdruck für die partialsummen berechnen?
mein lappy hat irgendein problem, der zeigt mir die ganzen ausdrücke nicht an, die hier sind.... -.- anstatt den summen etc hab ich da ein paar punkte stehen, könntest du evtl dein geschriebenes nochmal in worte fassen?
z ist ja komplex, sprich z = x+iy, x,y|R
kann man auch so daran gehen:
summe : [mm] z^k [/mm] / k und wegen [mm] (x+iy)^k [/mm] den binomischen lehrsatz anwenden? hilft das irgendwie?!
gr
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Mo 31.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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