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Konvergenz von zwei Integralen: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:09 Mo 27.01.2014
Autor: Omikron123

Aufgabe
(i) [mm] \integral_{\gamma}^{}{e^{z^2} dz} [/mm] mit [mm] \{\gamma: z=se^{i\alpha}, -\infty
(ii)  [mm] \integral_{\gamma}^{}{e^{1/z} dz} [/mm] mit [mm] \{\gamma: z=se^{i\alpha}, 0\le s\le 1\} [/mm]

Ich würde nun gerne den Bereich von [mm] \alpha [/mm] bestimmen für die die Integrale konvergieren. Ich habe in meinen Aufzeichnungen folgende Werte stehen,

(i) [mm] \pi/4\le\alpha\le3\pi/4 [/mm] oder [mm] 5\pi/4\le\alpha\le 7\pi/4 [/mm]

(ii) [mm] \pi/2\le\alpha\le 3\pi/2 [/mm]

Meine Frage ist nun wie genau man auf diese Werte gekommen ist, ich bin gerade etwas planlos, vlt könnt ihr mir weiterhelfen.

        
Bezug
Konvergenz von zwei Integralen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:49 Mo 27.01.2014
Autor: Leopold_Gast

Bei a) erhältst du [mm]\mathrm{d}z = \operatorname{e}^{\operatorname{i} \alpha} ~ \mathrm{d} s[/mm]. Die Parametrisierung liefert daher formal das folgende Integral:

[mm]\int_{\gamma} \operatorname{e}^{z^2} ~ \mathrm{d} z \ \ = \ \ \operatorname{e}^{\operatorname{i} \alpha} \int_{- \infty}^{\infty} \operatorname{e}^{s^2 \operatorname{e}^{2 \operatorname{i} \alpha}} ~ \mathrm{d}s \ \ = \ \ \operatorname{e}^{\operatorname{i} \alpha} \int_{- \infty}^{\infty} \operatorname{e}^{s^2 \cos(2 \alpha)} \cdot \operatorname{e}^{\operatorname{i} \cdot s^2 \sin(2\alpha)} ~ \mathrm{d}s[/mm]

Für die absolute Konvergenz untersucht man das Integral über den Betrag, also

[mm]\int_{- \infty}^{\infty} \operatorname{e}^{s^2 \cos(2 \alpha)} ~ \mathrm{d}s[/mm]

Damit dieses Integral konvergiert, muß [mm]s^2 \cos(2 \alpha)[/mm] negativ sein. Für welche [mm]\alpha[/mm] ist das der Fall?

Bezug
                
Bezug
Konvergenz von zwei Integralen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:42 Mo 27.01.2014
Autor: Omikron123

Danke für deine Antwort, für [mm] cos(2\alpha)\le [/mm] 0 erhalte ich genau das gesuchte Ergebnis, im 2.Fall bin ich nun genauso vorgegangen und erhalte

[mm] e^{i\alpha}\integral_{0}^{1}{e^{\bruch{1}{s}\cos(\alpha)}e^{-\bruch{1}{s}i\sin(\alpha)} ds} [/mm]

daher muss [mm] \bruch{1}{s}cos(\alpha)\le [/mm] 0, also [mm] $\pi/2\le\alpha\le 3\pi/2$ [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Konvergenz von zwei Integralen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:57 Di 28.01.2014
Autor: fred97


> Danke für deine Antwort, für [mm]cos(2\alpha)\le[/mm] 0 erhalte
> ich genau das gesuchte Ergebnis, im 2.Fall bin ich nun
> genauso vorgegangen und erhalte
>  
> [mm]e^{i\alpha}\integral_{0}^{1}{e^{\bruch{1}{s}\cos(\alpha)}e^{-\bruch{1}{s}i\sin(\alpha)} ds}[/mm]
>  
> daher muss [mm]\bruch{1}{s}cos(\alpha)\le[/mm] 0, also
> [mm]\pi/2\le\alpha\le 3\pi/2[/mm]

Das passt.

FRED


Bezug
                                
Bezug
Konvergenz von zwei Integralen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:40 Mo 10.02.2014
Autor: Omikron123

Ich habe hier noch ein ähnlices integral bei dem ich Probleme habe.

[mm] \integral_{\gamma}^{}{(1+\tanh z) dz} [/mm] wobei [mm] z=se^{i\alpha} 0\le s<\infty [/mm]

Dann erhalte ich [mm] e^{i\alpha} \integral_{0}^{\infty}{(1+\tanh se^{i\alpha} h) ds} [/mm]

Für welche [mm] \alpha [/mm] konvergiert das nun?

Bezug
                                        
Bezug
Konvergenz von zwei Integralen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:20 Mi 12.02.2014
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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