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Konvergenz einer Reihe: Konvergenzuntersuchung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:27 So 13.06.2010
Autor: zim_georg

Aufgabe
Untersuche die Reihe [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{\wurzel{i+1}-\wurzel{i}}{i^r} [/mm] für 0<r<1, r rational, auf Konvergenz und absolute Konvergenz.

Liebe Leute!

Hab schon eine Zeit über diesem Beispiel gebrütet, komm aber nicht wirklich weiter. Vielleicht hat jemand von euch eine Idee? Das einzige worauf ich bis jetzt gekommen bin: r=1/2 stellt irgendwie eine "Ausnahme" dar, doch ob die Reihe für diesen Wert konvergiert, konnte ich bis jetzt ebensowenig zeigen wie für die anderen Werte von r :-( Aber wie gesagt: vielleicht weiß jemand von euch weiter?!
im Voraus besten Dank,
Georg

        
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Konvergenz einer Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:52 So 13.06.2010
Autor: reverend

Hallo Georg,

das Quotientenkriterium liefert hier doch eine Aussage.
edit: da habe ich was gesehen, was gar nicht da ist. QK geht leider doch nicht. Sorry.

Wieso soll [mm] r=\tfrac{1}{2} [/mm] einen besonderen Fall darstellen?
...wird in den folgenden Beiträgen ja geklärt.

Grüße
reverend

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Konvergenz einer Reihe: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) fundamentaler Fehler Status 
Datum: 13:28 So 13.06.2010
Autor: Marcel

Hallo Reverend,

> Hallo Georg,
>  
> das Quotientenkriterium liefert hier doch eine Aussage.

das sehe ich aber auch nicht. Es ist ja [mm] $a_i=\frac{\sqrt{i+1}-\sqrt{i}}{i^r}=\frac{1}{i^r(\sqrt{i+1}+\sqrt{i})}$ [/mm] und damit
[mm] $$\underbrace{\lim}_{:=\lim\limits_{i \to \infty}} a_{i+1}/a_i=\lim \frac{i^r(\sqrt{i+1}+\sqrt{i})}{(i+1)^r*(\sqrt{i+2}+\sqrt{i+1})}=\lim \left(\frac{i}{i+1}\right)^r*\lim \frac{\sqrt{i+2}+\sqrt{i+1}}{\sqrt{i+1}+\sqrt{i}}=\left(\lim\frac{i}{i+1}\right)^r*1=1^r*1=1\,.$$ [/mm]

Beste Grüße,
Marcel

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Konvergenz einer Reihe: Antwort (fehlerhaft)
Status: (Antwort) fehlerhaft Status 
Datum: 10:13 So 13.06.2010
Autor: martinmax1234

$ [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{\wurzel{i+1}-\wurzel{i}}{i^r} [/mm] $
Majorantenkriterium ist hier die einfachste Methode die Konvergenz bzw. absolute Konvergenz zu zeigen.
Multipliziere einfach den Nenner und Zähler mit [mm] {\wurzel{i+1}+\wurzel{i}} [/mm]

Dann erhälst du:
[mm] \bruch{1}{i^r* {\wurzel{i+1}+\wurzel{i}}} [/mm] , jetzt kannst du halt abschätzen und erhälst
[mm] \bruch{1}{i^r*i} [/mm]  ( je kleiner der nenner, desto größer der wert und erhälst
[mm] \bruch{1}{i^r^{+1}} [/mm] und damit hast du deine konvergenz. Du weiß bestimmt für [mm] 1/r^1 [/mm] hasst ja die harmonische Reihe die divergent. Deshalb ist r>0 vorgegeben

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Konvergenz einer Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:39 So 13.06.2010
Autor: zim_georg

Hallo!

danke für eure Antworten! Aber eines versteh ich noch nicht ganz: Wie kann man [mm] \bruch{1}{i^r (\wurzel{i+1}+\wurzel{i})} [/mm] durch [mm] \bruch{1}{i^{r+1}} [/mm] abschätzen? Es gilt ja offensichtlich nicht, dass der erste Ausdruck kleiner gleich dem zweiten ist, d.h. wie kann man dann überhaupt das Majorantenkriterium anwenden?

lg Georg

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Konvergenz einer Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:53 So 13.06.2010
Autor: Gonozal_IX

Huhu,

die Abschätzung meines Vorposters  [mm] $\bruch{1}{i^r (\wurzel{i+1}+\wurzel{i})} [/mm] <  [mm] \bruch{1}{i^{r}*i} [/mm] $ ist falsch, da dafür ja gelten müsste

$i < [mm] \wurzel{i+1}+\wurzel{i}$, [/mm] was für i>5 offensichtlich nicht mehr zutrifft.

Aber was geht, ist:

[mm] $\bruch{1}{i^r (\wurzel{i+1}+\wurzel{i})} [/mm] < [mm] $\bruch{1}{i^r* 2\wurzel{i}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2i^{r+\bruch{1}{2}}}$ [/mm]

edit: Das würde auch deine Sonderstellung bei [mm] $r=\bruch{1}{2}$ [/mm] erklären ;-)

Ne bessere Abschätzung seh ich effektiv gerade auch nicht.

MFG,
Gono.

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Konvergenz einer Reihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:04 So 13.06.2010
Autor: zim_georg

Danke vielmals für eure hilfreichen Antworten!

lg Georg

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Konvergenz einer Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:21 So 13.06.2010
Autor: Marcel

Hallo,

> Hallo!
>  
> danke für eure Antworten! Aber eines versteh ich noch
> nicht ganz: Wie kann man [mm]\bruch{1}{i^r (\wurzel{i+1}+\wurzel{i})}[/mm]
> durch [mm]\bruch{1}{i^{r+1}}[/mm] abschätzen? Es gilt ja
> offensichtlich nicht, dass der erste Ausdruck kleiner
> gleich dem zweiten ist, d.h. +wie kann man dann überhaupt
> das Majorantenkriterium anwenden?

eigentlich (so jedenfalls: erstmal) gar nicht. Dennoch gibt es einen Trick, den man hier anwenden kann, und zwar analog zu hier (insbesondere schlag' mal den Satz + Beweis im Heuser nach, den ich dort erwähne):
Es gilt nämlich (ich benutze dabei Gonozal_IXs Vorüberlegungen)
[mm] $$(\*)\;\;\;\frac{\sqrt{i+1}-\sqrt{i}}{i^r}*\blue{i^{r+1/2}}=\frac{1}{i^r*(\sqrt{i+1}+\sqrt{i})}*i^{r+1/2}=\frac{1}{\sqrt{(i+1)/i}+\sqrt{i/i}} \to 1/(\sqrt{1}+\sqrt{1})=1/2 [/mm] > [mm] 0\,.$$ [/mm]

Daher hat [mm] $\underbrace{\sum}_{=:\sum\limits_i} \frac{\sqrt{i+1}-\sqrt{i}}{i^r}$ [/mm] das gleiche Konvergenzverhalten wie [mm] $\sum \frac{1}{i^{r+1/2}}$, [/mm] und konvergiert daher (z.B. nach dem []Cauchyschen Verdichtungssatz) genau dann, wenn $r+1/2 > 1$ bzw. $r > 1/2$ ist.

P.S.:
In dem Satz von Heuser, auf den ich verweise, benutzt man im Beweis übrigens das Majorantenkriterium. Man könnte also, ohne diesen Satz direkt zu benutzen, mithilfe von [mm] $(\*)\,$ [/mm] und dem Majorantenkriterium auch das ganze direkt beweisen. Es geht also schon mit dem Majokriterium, man braucht aber auch noch zusätzliche Kenntnisse (Cauchyscher Verdichtungssatz oder [mm] $\sum 1/n^{\alpha}$ [/mm] kgt. [mm] $\gdw$ $\alpha [/mm] > 1$) oder Überlegungen.

Beste Grüße,
Marcel

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Konvergenz einer Reihe: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) fundamentaler Fehler Status 
Datum: 12:54 So 13.06.2010
Autor: Gonozal_IX

Huhu,

deine Abschätzung als Majorante ist falsch.
Deine Ungleichung gilt nur für i<5 und dass ist es nach 5 Schritten nicht mehr ;-)

MFG,
Gono.

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Konvergenz einer Reihe: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) fundamentaler Fehler Status 
Datum: 13:01 So 13.06.2010
Autor: Marcel

Hallo,

> [mm]\summe_{i=1}^{\infty} \bruch{\wurzel{i+1}-\wurzel{i}}{i^r}[/mm]
>  
> Majorantenkriterium ist hier die einfachste Methode die
> Konvergenz bzw. absolute Konvergenz zu zeigen.
> Multipliziere einfach den Nenner und Zähler mit
> [mm]{\wurzel{i+1}+\wurzel{i}}[/mm]
>  
> Dann erhälst du:
>  [mm]\bruch{1}{\red{i^r* {\wurzel{i+1}+\wurzel{i}}}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

, jetzt kannst

ist sicher nur ein Verschreiber, aber da fehlen Klammern:
$$\bruch{1}{i^r* \blue{(}\wurzel{i+1}+\wurzel{i}\blue{)}}}\,.$$

Mengenklammern schreibt man mit Latex übrigens so $\{\}$.

> du halt abschätzen und erhälst
>  [mm]\bruch{1}{i^r*i}[/mm]  ( je kleiner der nenner, desto größer
> der wert

Das wäre richtig, wenn man $i [mm] \le \sqrt{i}+\sqrt{i+1}$ [/mm] nachweisen könnte. Das wird Dir aber nicht gelingen (quadriere diese Ungleichung mal, das ist hier eine Äquivalenzumformung, da beide Seiten [mm] $\ge [/mm] 0$, und rechne weiter...).

> und erhälst
>  [mm]\bruch{1}{i^r^{+1}}[/mm] und damit hast du deine konvergenz. Du
> weiß bestimmt für [mm]1/r^1[/mm] hasst ja die harmonische Reihe
> die divergent. Deshalb ist r>0 vorgegeben

Damit stimmt der Rest auch nicht mehr.

Beste Grüße,
Marcel

Bezug
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