Konvergenz < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:28 Di 03.06.2008 | | Autor: | Ole-Wahn |
| Aufgabe | Seien $f, [mm] f_n \in L_p(\mu),~n\in \IN~\frac [/mm] 1 p + [mm] \frac [/mm] 1 q=1$.
Zu zeigen: Konvergieren die [mm] $f_n$ [/mm] stark gegen $f$, d.h. bzgl [mm] $||.||_p$, [/mm] so konvergieren sie auch schwach gegen $f$ |
Hallo,
Also, zu zeigen ist schwache Konvergenz und das heißt:
[mm] $\forall [/mm] g [mm] \in L_q(mu):~\lim_{n\rightarrow\infty}\int f_n [/mm] g [mm] d\mu [/mm] = [mm] \int [/mm] f g [mm] d\mu$
[/mm]
Und starke Konvergenz heißt:
[mm] $\lim_{n\rightarrow\infty} ||f_n||_p [/mm] = [mm] ||f||_p$
[/mm]
Allerdings bekomme ich mit der Vorraussetzung und der Hölderschen Ungleichung nur folgende Ungleichungskette zustande:
[mm] $\begin{matrix}
\lim_{n\rightarrow\infty}\int f_n g d\mu & \leq & \lim \int |f_n g| d\mu\\
{} & \stackrel{Hoelder}{\leq} & \lim ||f_n||_p \cdot ||g||_q \\
{}&\stackrel{st.~Kon}{=}& ||f||_p \cdot ||g||_q\\
{}&\stackrel{Hoelder}{\geq} & \int |fg|d\mu\\
{} & \geq & \int fg d\mu
\end{matrix}$
[/mm]
Wie krieg ich hier die Glechheit? Oder muss ich ganz anders rangehen?
Danke,
Ole
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:38 Mi 04.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Seien [mm]f, f_n \in L_p(\mu),~n\in \IN~\frac 1 p + \frac 1 q=1[/mm].
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> Zu zeigen: Konvergieren die [mm]f_n[/mm] stark gegen [mm]f[/mm], d.h. bzgl
> [mm]||.||_p[/mm], so konvergieren sie auch schwach gegen [mm]f[/mm]
> Hallo,
>
> Also, zu zeigen ist schwache Konvergenz und das heißt:
>
> [mm]\forall g \in L_q(mu):~\lim_{n\rightarrow\infty}\int f_n g d\mu = \int f g d\mu[/mm]
>
> Und starke Konvergenz heißt:
>
> [mm]\lim_{n\rightarrow\infty} ||f_n||_p = ||f||_p[/mm]
>
> Allerdings bekomme ich mit der Vorraussetzung und der
> Hölderschen Ungleichung nur folgende Ungleichungskette
> zustande:
>
> [mm]$\begin{matrix}
\lim_{n\rightarrow\infty}\int f_n g d\mu & \leq & \lim \int |f_n g| d\mu\\
{} & \stackrel{Hoelder}{\leq} & \lim ||f_n||_p \cdot ||g||_q \\
{}&\stackrel{st.~Kon}{=}& ||f||_p \cdot ||g||_q\\
{}&\stackrel{Hoelder}{\geq} & \int |fg|d\mu\\
{} & \geq & \int fg d\mu
\end{matrix}$[/mm]
Diese Ungleichungskette verstehe ich nicht.
Die Hölder-Ungleichung sagt:
[mm] \|(f_n-f)*g\|_1 \le \|(f_n-f)\|_p * \|g\|_q [/mm]
Die linke Seite ist außerdem [mm] $\ge [/mm] 0$.
Wenn du zeigen kannst, dass die rechte Seite für [mm] $n\to\infty$ [/mm] gegen 0 geht, bist du fertig.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:25 Mi 04.06.2008 | | Autor: | Ole-Wahn |
Also die Höldersche Ungleichung lautet:
[mm] $||fg||_1:= \int [/mm] |fg| [mm] \leq ||f||_p \cdot ||g||_q [/mm] = [mm] \left(\int |f|^p\right)^{\frac 1 p} \cdot \left( \int|g|^q \right)^{\frac 1 q}$
[/mm]
Genau das benutze ich hier. Welche linke Seite und welche rechte Seite meinst du denn? Die in der Ungleichung oder die indem was ich zeigen will?
Die Ungleichungskette ist auch besch**** Ich kann leider die Gleichheit
[mm] $\lim_{n\rightarrow \infty} \int f_n [/mm] g = [mm] \int [/mm] fg$
nicht zeigen, sondern nur beide Seiten dieser Gleichung nach oben abschätzen! Aber durch dieselbe Schranke!
Über weitere Anregungen wäre ich sehr dankbar!
Ole
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:34 Mi 04.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Also die Höldersche Ungleichung lautet:
> [mm]||fg||_1:= \int |fg| \leq ||f||_p \cdot ||g||_q = \left(\int |f|^p\right)^{\frac 1 p} \cdot \left( \int|g|^q \right)^{\frac 1 q}[/mm]
>
> Genau das benutze ich hier. Welche linke Seite und welche
> rechte Seite meinst du denn? Die in der Ungleichung oder
> die indem was ich zeigen will?
>
> Die Ungleichungskette ist auch besch**** Ich kann leider
> die Gleichheit
> [mm]\lim_{n\rightarrow \infty} \int f_n g = \int fg[/mm]
> nicht
> zeigen, sondern nur beide Seiten dieser Gleichung nach oben
> abschätzen! Aber durch dieselbe Schranke!
Ich hab's dir doch hingeschrieben: es reicht zu zeigen, dass
[mm]\lim_{n\rightarrow \infty} \int(f_n-f)*g = 0 [/mm]
für beliebiges g ist. Das Integral ist nach der Hölderschen Ungleichung [mm] $\le \|f_n-f\|_p*\|g\|_q$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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