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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:43 So 22.01.2006 | | Autor: | Waltraud |
| Aufgabe | Untersuchen sie mit Hilfe der Definition auf Konvergenz
a) an = 1/ wurzel aus n+1
b) an = n² +1 / 3n² +7 |
Hallo Leute, ich komme überhaupt nicht weiter und sitze schon 3 Tage an diesern bekloppten aufgabe. ich hoffe ihr könnt mir helfen.
LG Juliane
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:36 So 22.01.2006 | | Autor: | masha |
Hallo,
Also erstmal die Definition der Kovergenz einer Zahlenfolge
[mm] (\limes_{n \to \infty}a_n [/mm] = A) := Für alle [mm] \epsilon [/mm] >0 Existiert eine Zahl [mm] N\in\IN,
[/mm]
so dass für alle n > N [mm] (\left| a_n - A \right|<\epsilon)
[/mm]
Dann zu a)
Intuitiv ist klar, dass die Folge gegen 0 konvergiert, dann suchst du so ein [mm] N(\epsilon), [/mm] dass für alle n> [mm] N(\epsilon)
[/mm]
[mm] \left| \bruch{1}{\wurzel{n+1}} - 0 \right|=\bruch{1}{\wurzel{n+1}}<\epsilon
[/mm]
[mm] \bruch{1}{\epsilon^2}< [/mm] n+1 <=> [mm] n>\bruch{1}{\epsilon^2}-1
[/mm]
Also wenn du [mm] N(\epsilon)=\bruch{1}{\epsilon^2}-1 [/mm] auswählst, dann bekommst du für jedes belibige [mm] \epsilon [/mm] eine Zahl [mm] N(\epsilon), [/mm] so dass alle Glieder der Zahlenfolge in der Umgebung V(A) liegen.
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:58 So 22.01.2006 | | Autor: | Waltraud |
hallo , kannst du mir das für das beispiel b oben auch noch mal klar machen?
wäre dir sehr dankbar.
LG Juliane
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:10 Mo 23.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Juliane!
Wie lautet denn der Grenzwert der 2. Folge? Weißt Du, wie man darauf kommt, denn dieser lautet $A \ = \ [mm] \bruch{1}{3}$ [/mm] .
Und nun machen wir genau dasselbe wie bei der ersten Aufgabe:
[mm] $\left| \ a_n-A \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \left| \ \bruch{n^2+1}{3n^2+7}-\bruch{1}{3} \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \left| \ \bruch{3n^2+3}{3*\left(3n^2+7\right)}-\bruch{3n^2+7}{3*\left(3n^2+7\right)} \ \right| [/mm] \ = \ ... \ < \ [mm] \varepsilon$
[/mm]
Fasse zunächst die beiden Brüche zusammen und stelle anschließend nach [mm] $n_0 [/mm] \ = \ [mm] N(\varepsilon) [/mm] \ = \ ...$ um.
Gruß
Loddar
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