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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:54 Mo 23.06.2008 | | Autor: | pyrrhus |
| Aufgabe | Die Matrix A [mm] \in \IR^{n \times n} [/mm] besitze die Eigenwerte [mm] \lambda_i, [/mm] i=1 [mm] \ldots [/mm] n und sei diagonalisierbar (A = [mm] PDP^{-1} [/mm] mit D = [mm] diag(\lambda_1 \ldots \lambda_n). [/mm] Sei E [mm] \in \R^{n \times n} [/mm] beliebig und [mm] \| \cdot \| [/mm] die Spektralnorm. Zeigen Sie die folgende Aussage:
Zu jedem Eigenwert [mm] $\mu$ [/mm] der gestörten Matrix $A + E$ existiert ein Eigenwert [mm] $\lambda_i$ [/mm] mit
[mm] | \mu - \lambda_i | \leq \|P\| \|P^{-1}\| \|E\| = \kappa(P) \|E\|. [/mm] |
hmm also die Aufgabe find ich echt fies. Ich hab mal angesetzt
den Eigenvektor zu [mm] \mu [/mm] nach den Eigenvektoren von A zu entwicheln:
w = [mm] \sum \alpha_i v_i [/mm] und dann mit
[mm] \|P\|^{-1} |\mu - \lambda_i| = \|P\|^{-1} | \|(A + E)w\| - \|A v_i \| |
\leq \| P^{-1} (PDP^{-1}) w + Ew - PDP^{-1}v_i \|
\ldots \leq \| \sum_j (\alpha_j \lambda_j e_j) - \lambda_i e_i + P^{-1} Ew \| [/mm]
und da komm ich jetzt nicht weiter´... Vielleicht bin ich da auch voll auf dem Holzweg. Hilfe bitte :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:42 Mo 23.06.2008 | | Autor: | pyrrhus |
Also ich denke ich weiß jetzt wies geht:
[mm]
\| (1 \mu - A)^{-1} \| \leq \| (1 \mu - D)^{-1} \| \|P\| \|P^{-1} \|
\leq \frac{1}{min_i | \mu - \lambda_i \| }\kappa (P) [/mm]
und dann folgt sie Aussage aus
[mm]
\| ( 1 \mu - A)^{-1} \| \|(A +E) -A \| \geq 1
[/mm]
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