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| Aufgabe | In einer Urne mit N=6 Kugeln seien r=2 rote und N-r=4 weiße Kugeln. Es werden n=5 Kugeln mit Zurücklegen gezogen.
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass genau k=3 rote Kugeln gezogen werden.
b) Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit, k rote Kugeln zu ziehen, durch die Binomialverteilung gegeben ist und bestimmen Sie die entsprechenden Parameter. |
Guten Abend,
zu a) Ω [mm] =[R_{1},R_{2},W_{1},W_{2},W_{3},W_{4}]^{5} \mathcal{A}= [/mm] 2 ^{Ω} [mm] \mathcal{P}={n \choose k}*p^{k}*(1-p)^{n-k}
[/mm]
[mm] \mathcal{P}={5 \choose 3}*(1/3)^{3}*(2/3)^{5-3}\approx [/mm] 0.1646
zu b) Da weiß ich nicht genau, wie ich dass zeigen soll. Ein kleiner Denkanstoß wäre nett.
beste Grüße zahlenfreund
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:43 Do 06.11.2014 | | Autor: | Ladon |
Hallo zahlenfreund,
a) ist richtig. Zu b) musst du folgendes zeigen:
Sei [mm] n\in \IN [/mm] die Anzahl an Zügen, [mm] p=\frac{1}{3} [/mm] die Wkt. für einen Treffer, dann ist das Paar [mm] (\Omega,p) [/mm] mit [mm] \Omega=\{0,...,n\} [/mm] und [mm] p(k)=B_{n,p}(k)=\vektor{n\\k}p^k(1-p)^{n-k} [/mm] ein endliches Zufallsexperiment und die [mm] B_{n,p} [/mm] geänderte Wahrscheinlichkeitsverteilung heißt "Binomialverteilung mit Parameter n und p". Nun gilt z.zg., dass diese Binomialverteilung mit Parameter n und [mm] p=\frac{1}{3} [/mm] die Wahrscheinlichkeit k rote Kugeln zu ziehen, beschreibt. Ein Großteil der Überlegung war dir bereits in a) klar. Du musst dir dazu zuerst überlegen, warum es tatsächlich [mm] \vektor{n\\k} [/mm] Möglichkeiten gibt k Kugeln in n Schritten mit Zurücklegen zu ziehen (Auf wie viele Arten kannst du k rote und n-k weiße Kugeln in n-Tupel unterbringen? Warum ist das eine Kombination ohne Wiederholung?) und wie der Parameter p in die Beschreibung der Wahrscheinlichkeit k rote Kugeln zu ziehen eingeht.
MfG
Ladon
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:42 Fr 07.11.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo zahlenfreund!
> In einer Urne mit N=6 Kugeln seien r=2 rote und N-r=4
> weiße Kugeln. Es werden n=5 Kugeln mit Zurücklegen
> gezogen.
> a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass genau k=3
> rote Kugeln gezogen werden.
> b) Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit, k rote Kugeln
> zu ziehen, durch die Binomialverteilung gegeben ist und
> bestimmen Sie die entsprechenden Parameter.
> zu a) Ω [mm]=[R_{1},R_{2},W_{1},W_{2},W_{3},W_{4}]^{5} \mathcal{A}=[/mm]
> 2 ^{Ω}
Bis hierhin eine sinnvolle Modellierung des Zufallsexperimentes aus der Aufgabenstellung. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Fehlt nur noch ein passendes Wahrscheinlichkeitsmaß auf [mm] $(\Omega,\mathcal{A})$.
[/mm]
> [mm]\mathcal{P}={n \choose k}*p^{k}*(1-p)^{n-k}[/mm]
Das definiert leider kein Wahrscheinlichkeitsmaß auf [mm] $(\Omega,\mathcal{A})$.
[/mm]
[mm] $\mathcal{P}$ [/mm] muss insbesondere eine Abbildung [mm] $\mathcal{P}\colon\mathcal{A}\to[0,1]$ [/mm] sein, also jedem Ereignis [mm] $A\in\mathcal{A}$ [/mm] (d.h. [mm] $A\subseteq\Omega$) [/mm] eine Zahl $P(A)$ von 0 bis 1 zuordnen.
Sinnvollerweise wählt man bei deiner Wahl von [mm] $(\Omega,\mathcal{A})$ [/mm] die Laplace-Verteilung über [mm] $\Omega$:
[/mm]
[mm] $P(A):=\frac{|A|}{|\Omega|}$ [/mm] für alle [mm] $A\subseteq\Omega$.
[/mm]
Betrachten wir nun speziell das Ereignis $A$, dass genau $3$ rote Kugeln gezogen werden.
Sei dazu für alle [mm] $\omega=(\omega_1,\omega_2,\omega_3,\omega_4,\omega_5)\in\Omega$
[/mm]
[mm] $X(\omega):=|\{i\in\{1,2,3,4,5\}\;|\;\omega_i\in\{R_1,R_2\}\}|$
[/mm]
die Anzahl der gezogenen roten Kugeln, wenn das Ergebnis [mm] $\omega$ [/mm] eingetreten ist.
Damit lässt sich $A$ als Teilmenge von [mm] $\Omega$ [/mm] beschreiben durch
$A:= [mm] \{\omega\in\Omega\;|\;X(\omega)=3\}$.
[/mm]
Nun gilt es $P(A)$ zu bestimmen.
Bestimme dazu [mm] $|\Omega|$ [/mm] und $|A|$.
> zu b) Da weiß ich nicht genau, wie ich dass zeigen soll.
> Ein kleiner Denkanstoß wäre nett.
Sei für [mm] $k\in\{0,1,2,3,4,5\}$
[/mm]
[mm] $A_k:=\{\omega\in\Omega\;|\;X(\omega)=k\}$
[/mm]
das Ereignis, dass genau $k$ rote Kugeln gezogen werden.
Bestimme nun [mm] $P(A_k)$.
[/mm]
Zeige dann, dass die Abbildung
[mm] $\{0,1,2,3,4,5\}\to[0,1],\quad k\mapsto P(A_k)$
[/mm]
eine Binomialverteilung ist.
Wie lauten ihre Parameter $n$ und $p$?
Viele Grüße
Tobias
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mein Tutorial "Stochastisches Modellieren für Einsteiger"