Körper < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:28 Fr 27.07.2012 | | Autor: | ms2008de |
| Aufgabe | | Sei K ein Körper und a [mm] \in [/mm] K. Zeigen Sie [mm] a^2= [/mm] 1 [mm] \gdw [/mm] a [mm] \in [/mm] {1, -1}. |
Hallo,
Also [mm] "\Leftarrow" [/mm] konnte ich bisher sehr leicht zeigen, jedoch habe ich Probleme [mm] "\Rightarrow" [/mm] zu zeigen.
Ich weiß, weil [mm] a^2= [/mm] a*a=1 , dass damit a zu sich selbst invers sein muss, also a= [mm] a^{-1}. [/mm] Hier komm ich hier irgendwie nicht weiter. Wäre für jede Hilfe dankbar.
Viele Grüße
|
|
| |
|
moin,
Kannst du die Aussage [mm] $a^2=1$ [/mm] in ein Polynom übersetzen, also kannst du das zu einer Aussage in $K[x]$ umformulieren?
Wenn dir das gelingt sollte der Rest auch kein Problem mehr sein.
lg
Schadow
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:07 Sa 28.07.2012 | | Autor: | ms2008de |
Hallo nochmal,
ich hab nun einen anderen Ansatz gefunden um zu zeigen, dass [mm] a^2=1 \Rightarrow [/mm] a [mm] \in [/mm] {-1, 1}. Und zwar sei a [mm] \not= [/mm] 1 und a [mm] \not= [/mm] -1.
Sei x=a+1 und y=a-1 mit x,y [mm] \in K\setminus\{0\}.
[/mm]
Ang. [mm] a^2=1
[/mm]
Betrachte x*y= [mm] (a+1)*(a-1)=a^2 [/mm] -1=1-1=0. [mm] K\setminus\{0\} [/mm] ist jedoch bezüglich der Multiplikation per Definition abgeschlossen und somit kann dann [mm] a^2 [/mm] nicht 1 sein, was zu zeigen war. [mm] \Box
[/mm]
Ist das soweit richtig?
Vielen Dank dennoch für die Mühe, aber die Aufgabe sollte auch ohne K[x] zu zeigen sein.
Viele Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:03 Sa 28.07.2012 | | Autor: | fred97 |
Es ist [mm] (a+1)(a-1)=a^2-1=0
[/mm]
K ist nullteilerfrei. Was folgt ?
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:20 Sa 28.07.2012 | | Autor: | ms2008de |
Hallo,
> Es ist [mm](a+1)(a-1)=a^2-1=0[/mm]
>
>
> K ist nullteilerfrei. Was folgt ?
>
Dass entweder a+1=0 oder a-1= 0 sein müssen und somit a=-1 oder a=1.
Aber das hab ich doch gezeigt, denn ob ich zeige, dass aus [mm] a^2=1 [/mm] folgt a=-1 oder a=1, oder ob ich zeige, dass aus a [mm] \not= [/mm] -1 und a [mm] \not= [/mm] 1 folgt [mm] a^2 \not= [/mm] 1, kommt doch genau aufs selbe hinaus, von daher versteh ich deinen Einwand nicht so wirklich?
Viele Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:28 Sa 28.07.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> > Es ist [mm](a+1)(a-1)=a^2-1=0[/mm]
> >
> >
> > K ist nullteilerfrei. Was folgt ?
> >
> Dass entweder a+1=0 oder a-1= 0 sein müssen und somit a=-1
> oder a=1.
> Aber das hab ich doch gezeigt, denn ob ich zeige, dass
> aus [mm]a^2=1[/mm] folgt a=-1 oder a=1, oder ob ich zeige, dass aus
> a [mm]\not=[/mm] -1 und a [mm]\not=[/mm] 1 folgt [mm]a^2 \not=[/mm] 1, kommt doch
> genau aufs selbe hinaus, von daher versteh ich deinen
> Einwand nicht so wirklich?
Ich hatte keinen Einwand.
FRED
>
> Viele Grüße
|
|
|
|
