Klassifizierung von Gruppen < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:13 Do 09.02.2006 | | Autor: | kluh |
Hallo Leute,
Gibt es eine Art "Schema f" zur Klassifizierung von Gruppen? Wie fange ich an, wenn ich Gruppen klassifizieren soll? Vielleicht könntet ihr mir das am Beispiel von |G|=6 und |G|=10 erklären. Wann brauche ich dabei das Semidirekte Produkt?
Schöne Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:22 Do 09.02.2006 | | Autor: | DerHein |
Also die Klassifikation aller endlichen Gruppen ist wohl aussichtslos...
da gibt es viel zu viele. Die einfachen (d.h keine nichttrivialen Normalteiler)
sind Ende letzten Jahrhunderts klassifiziert worden... das sind mehrere Tausend Seiten Beweis... verteilt auf Duzende Artikel. Eine vollständige Liste findet sich bei Cohen: Atlas of finite Groups.
Naja für Ordung < 20, sollte eine vollständige Klassifikation jedoch kein unlösbares Problem sein.
Wenn man anfängt sollte man sich zuerst mal Überblick über die möglichen Ordnungen von Elementen verschaffen... Satz von Lagrange. Gibt es z.B. ein Element dessen Ordnung = Gruppenordnung ist weiß man ja das die Gruppe Zyklisch ist... naja dann kann man sich Produkte anschauen und mögliche Kanidaten für die Ordnung des Produkts besorgen und sich so langsam durchhangel...
Man weiß z.B. auch, dass es immer Sylowuntergruppen gibt zu jedem Primteiler der Ordnung.
Hast du z.B. einen Normalteiler identifiziert und eine transversale Untergruppe gefunden so zerfällt deine Gruppe in ein Semidikrektes Produkt... allerdings bin ich da auch kein Experte. Wie immer ist Wikipedia bei sowas immer recht hilfreich... alleine mal ein paar Kanidaten zu kennen: Diedergruppen, [mm] A_n, S_n, [/mm] abelsche Gruppen,... siehe auch
http://mathworld.wolfram.com/FiniteGroup.html
mfg Heinrich
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