Klassengruppe trivial < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:20 So 05.12.2010 | | Autor: | Arcesius |
Hallo zusammen.
Ich versuche mich gerade an einer Aufgabe, die ich aber leider nicht lösen kann. Dabei geht es um die Klassengruppe eines bestimmten Kreisteilungskörpers.. Die Aufgabe ist die Folgende:
Zeige, dass $K = [mm] \mathbb{Q}(\zeta_{7}$ [/mm] (7-te Kreisteilungskörper) ein Hauptidealring ist.
Dazu möchte ich zeigen, dass die Klassengruppe trivial ist.. also habe ich zuerst den Minkowski-Bound [mm] $C_{K}$ [/mm] berechnet:
[mm] $C_{K} [/mm] = [mm] \frac{d!}{d^{d}}\left(\frac{4}{\pi}\right)\mid \triangle_{K}\mid^{\frac{1}{2}} \approx [/mm] 4.13 < 5$.
Gut. Jetzt sei [mm] $l\mathbb{Z}_{K} \subset \mathbb{Z}_{K}$ [/mm] ein Ideal mit $l [mm] \ge [/mm] 2$ Primzahl von 7 verschieden. Dann ist $l$ nicht verzweigt in $K$. Schreibe [mm] $l\mathbb{Z}_{K} [/mm] = [mm] Q_{1}\cdots Q_{g}$ [/mm] mit [mm] $Q_{i}$ [/mm] Primideale.
Jetzt sollte ich mit den Restklassengraden der [mm] $Q_{i}$'s [/mm] etwas machen sollen.. aber ich weiss nicht wie?
Kann mir hier jemand helfen? Wäre ganz nett :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:39 So 05.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ich versuche mich gerade an einer Aufgabe, die ich aber
> leider nicht lösen kann. Dabei geht es um die
> Klassengruppe eines bestimmten Kreisteilungskörpers.. Die
> Aufgabe ist die Folgende:
>
> Zeige, dass [mm]K = \mathbb{Q}(\zeta_{7}[/mm] (7-te
> Kreisteilungskörper) ein Hauptidealring ist.
>
> Dazu möchte ich zeigen, dass die Klassengruppe trivial
> ist.. also habe ich zuerst den Minkowski-Bound [mm]C_{K}[/mm]
> berechnet:
>
> [mm]C_{K} = \frac{d!}{d^{d}}\left(\frac{4}{\pi}\right)\mid \triangle_{K}\mid^{\frac{1}{2}} \approx 4.13 < 5[/mm].
Sprich, du musst alle Primideale mit Norm $<5$ untersuchen. Es gibt also nur die Moeglichkeit von Norm 2, 3 und 4.
> Gut. Jetzt sei [mm]l\mathbb{Z}_{K} \subset \mathbb{Z}_{K}[/mm] ein
> Ideal mit [mm]l \ge 2[/mm] Primzahl von 7 verschieden.
Es reicht, [mm] $\ell [/mm] = 2$ und [mm] $\ell [/mm] = 3$ anzuschauen.
> Dann ist [mm]l[/mm]
> nicht verzweigt in [mm]K[/mm]. Schreibe [mm]l\mathbb{Z}_{K} = Q_{1}\cdots Q_{g}[/mm]
> mit [mm]Q_{i}[/mm] Primideale.
>
> Jetzt sollte ich mit den Restklassengraden der [mm]Q_{i}[/mm]'s
> etwas machen sollen.. aber ich weiss nicht wie?
Ganz allgemein macht man das in zyklotomischen Koerpern doch ![[]](/images/popup.gif) so (fuer [mm] $\ell \neq [/mm] p$): man berechnet die Ordnung $f$ von [mm] $\ell$ [/mm] in [mm] $(\IZ/p\IZ)^\ast$. [/mm] Dann haben alle Primideale in [mm] $\IZ_K$, [/mm] die ueber [mm] $\ell$ [/mm] liegen, die Norm [mm] $\ell^f$.
[/mm]
Du musst also die Ordnung von 2 bzw. 3 modulo $p = 7$ berechnen. Dann weisst du, wieviele Primideale es mit Norm $2, 3, 4$ gibt (naemlich keine), und kannst daraus folgern, dass [mm] $\IZ_K$ [/mm] ein Hauptidealring ist.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:13 Mo 06.12.2010 | | Autor: | Arcesius |
Hallo
Erstmals ganz vielen Dank an dir, Felix. Ich konnte die Aufgabe nun lösen :)
Ich wollte das gleiche nun für den elften zyklotomischen Körper tun.. also sei [mm]K = \mathbb{Q}(\zeta_{11})[/mm]
Ich habe [mm]C_{K} < 59[/mm] und somit für alle Primzahlen [mm]1 < l < 59[/mm], [mm]l \neq 11[/mm], die Ordnung in [mm]\mathbb{F}_{11}^{\times}[/mm] ausgerechnet. Es ergibt sich, dass die Ordnung für all diese Primzahlen entweder 5 oder 10 ist mit einer Ausnahme, nämlich [mm]l = 23[/mm].
Somit muss ich nur diesen einen Fall betrachten (den für den Rest wird die Norm zu gross):
Sei [mm]l = 23[/mm]. Dann ist [mm]l \equiv 1 (mod 11)[/mm] und somit gilt:
[mm]23\mathbb{Z}_{K} = \prod\limits_{i=1}^{10}{P_{i}}[/mm], wobei [mm]P_{i}[/mm] paarweise verschiedene Primideale mit [mm]f(P_{i}) = 1[/mm]. Somit gilt [mm]N(P_{i}) = 23 < C_{k} \forall i \in \lbrace 1,...,10\rbrace[/mm]
Ich habe nun das Element [mm]1+\zeta+\zeta^{8}[/mm] welches Norm 23 hat in [mm]K[/mm]. Aber was kann ich damit anfangen? Ich müsste zeigen, dass alle [mm]P_{i}[/mm] Hauptideale sind, nicht?
Ich bedanke mich schon mal für die Hilfe :)
Gr
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:53 Mo 06.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Erstmals ganz vielen Dank an dir, Felix. Ich konnte die
> Aufgabe nun lösen :)
>
> Ich wollte das gleiche nun für den elften zyklotomischen
> Körper tun.. also sei [mm]K = \mathbb{Q}(\zeta_{11})[/mm]
>
> Ich habe [mm]C_{K} < 59[/mm] und somit für alle Primzahlen [mm]1 < l < 59[/mm],
> [mm]l \neq 11[/mm], die Ordnung in [mm]\mathbb{F}_{11}^{\times}[/mm]
> ausgerechnet. Es ergibt sich, dass die Ordnung für all
> diese Primzahlen entweder 5 oder 10 ist mit einer Ausnahme,
> nämlich [mm]l = 23[/mm].
> Somit muss ich nur diesen einen Fall betrachten (den für
> den Rest wird die Norm zu gross):
>
> Sei [mm]l = 23[/mm]. Dann ist [mm]l \equiv 1 (mod 11)[/mm] und somit gilt:
>
> [mm]23\mathbb{Z}_{K} = \prod\limits_{i=1}^{10}{P_{i}}[/mm], wobei
> [mm]P_{i}[/mm] paarweise verschiedene Primideale mit [mm]f(P_{i}) = 1[/mm].
> Somit gilt [mm]N(P_{i}) = 23 < C_{k} \forall i \in \lbrace 1,...,10\rbrace[/mm]
>
> Ich habe nun das Element [mm]1+\zeta+\zeta^{8}[/mm] welches Norm 23
> hat in [mm]K[/mm].
Und damit ist das davon erzeugte Ideal eins dieser Primideale.
> Aber was kann ich damit anfangen? Ich müsste
> zeigen, dass alle [mm]P_{i}[/mm] Hauptideale sind, nicht?
Nein, hier hast du Glueck: [mm] $\IQ(\zeta_{11}) [/mm] / [mm] \IQ)$ [/mm] ist Galois, womit die Galoisgruppe auf den Primidealen ueber $23 [mm] \IZ$ [/mm] transitiv operiert. Wenn also eins davon ein Hauptideal ist, dann auch alle anderen.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:01 Mo 06.12.2010 | | Autor: | Arcesius |
Hallo Felix..
Du, vielen Dank für die Antworten :) Hat wie immer zum Ziel geführt!
Liebe Grüsse, Amaro
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