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| Aufgabe | Gegeben sei die von t [mm] \in \IR [/mm] abhängige Matrix
[mm] A_{t} [/mm] = [mm] \pmat{1&sin^{2}(t)&t^{2}-2\\-e^{-t}&e^{-t}cos^{2}(t)&te^{-t}\\0&1&0} [/mm] ,
die lineare Abbildung [mm] \alpha_{t}: \IR^{3} \to \IR^{3} [/mm] : x [mm] \mapsto A_{t}x [/mm] beschreibt.
Bestimmen Sie den Rang von [mm] A_{t} [/mm] in Abhängigkeit von t [mm] \in \IR.
[/mm]
Bestimmen Sie das Bild und den Kern von [mm] \alpha_{t} [/mm] in Abhängigkeit von t. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Rang:
[mm] A_{t} [/mm] = [mm] \pmat{1&sin^{2}(t)&t^{2}-2\\-e^{-t}&e^{-t}cos^{2}(t)&te^{-t}\\0&1&0}
[/mm]
[mm] \pmat{1&sin^{2}(t)&t^{2}-2\\\bruch{1}{-e^{t}}&cos^{2}(t)\bruch{1}{e^{t}}&t\bruch{1}{e^{t}}\\0&1&0}
[/mm]
[mm] \pmat{1&sin^{2}(t)&t^{2}-2\\0&\bruch{cos^{2}(t)+sin^{2}(t)}{e^{t}}&\bruch{t+t^{2}-2}{e^{t}}\\0&1&0}
[/mm]
[mm] \pmat{1&sin^{2}(t)&t^{2}-2\\0&\bruch{1}{e^{t}}&\bruch{t+t^{2}-2}{e^{t}}\\0&1&0}
[/mm]
[mm] \pmat{1&sin^{2}(t)&t^{2}-2\\0&\bruch{1}{e^{t}}&\bruch{t+t^{2}-2}{e^{t}}\\0&0&t+t^{2}-2}
[/mm]
-> Matrix hat Rang 3, es lassen sich keine Nullzeilen bilden
Bild:
[mm] \alpha_{t}(\vec{e_{1}})= \pmat{1\\-e^{-t}\\0},\alpha_{t}(\vec{e_{2}})= \pmat{sin^{2}(t)\\e^{-t}cos^{2}(t)\\1},\alpha_{t}(\vec{e_{3}})= \pmat{t^{2}-2\\te^{-t}\\0}
[/mm]
Kern:
wie gehe ich hier voran? So wie ich das verstanden habe, ist der Kern der Vektor, mit dem ich die Matrix multiplizieren muss damit ich Null erhalte. Bzw. [mm] \alpha_{t}(\vec{x})=\vec{0} [/mm] aber da komme ich irgendwie nicht drauf :(
hat jmd. nen Tipp?
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Hallo keenblade,
> Gegeben sei die von t [mm]\in \IR[/mm] abhängige Matrix
>
> [mm]A_{t}[/mm] =
> [mm]\pmat{1&sin^{2}(t)&t^{2}-2\\-e^{-t}&e^{-t}cos^{2}(t)&te^{-t}\\0&1&0}[/mm]
> ,
>
> die lineare Abbildung [mm]\alpha_{t}: \IR^{3} \to \IR^{3}[/mm] : x
> [mm]\mapsto A_{t}x[/mm] beschreibt.
>
> Bestimmen Sie den Rang von [mm]A_{t}[/mm] in Abhängigkeit von t [mm]\in \IR.[/mm]
>
> Bestimmen Sie das Bild und den Kern von [mm]\alpha_{t}[/mm] in
> Abhängigkeit von t.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Rang:
>
> [mm]A_{t}[/mm] =
> [mm]\pmat{1&sin^{2}(t)&t^{2}-2\\-e^{-t}&e^{-t}cos^{2}(t)&te^{-t}\\0&1&0}[/mm]
>
> [mm]\pmat{1&sin^{2}(t)&t^{2}-2\\\bruch{1}{-e^{t}}&cos^{2}(t)\bruch{1}{e^{t}}&t\bruch{1}{e^{t}}\\0&1&0}[/mm]
>
> [mm]\pmat{1&sin^{2}(t)&t^{2}-2\\0&\bruch{cos^{2}(t)+sin^{2}(t)}{e^{t}}&\bruch{t+t^{2}-2}{e^{t}}\\0&1&0}[/mm]
>
> [mm]\pmat{1&sin^{2}(t)&t^{2}-2\\0&\bruch{1}{e^{t}}&\bruch{t+t^{2}-2}{e^{t}}\\0&1&0}[/mm]
>
> [mm]\pmat{1&sin^{2}(t)&t^{2}-2\\0&\bruch{1}{e^{t}}&\bruch{t+t^{2}-2}{e^{t}}\\0&0&t+t^{2}-2}[/mm]
>
> -> Matrix hat Rang 3, es lassen sich keine Nullzeilen
> bilden
>
Das ist nur richtig, wenn [mm]t^{2}+t-2 \not=0 [/mm] ist.
> Bild:
>
> [mm]\alpha_{t}(\vec{e_{1}})= \pmat{1\\-e^{-t}\\0},\alpha_{t}(\vec{e_{2}})= \pmat{sin^{2}(t)\\e^{-t}cos^{2}(t)\\1},\alpha_{t}(\vec{e_{3}})= \pmat{t^{2}-2\\te^{-t}\\0}[/mm]
>
Das gilt nur für [mm]t^{2}+t-2 \not=0 [/mm].
> Kern:
>
> wie gehe ich hier voran? So wie ich das verstanden habe,
> ist der Kern der Vektor, mit dem ich die Matrix
> multiplizieren muss damit ich Null erhalte. Bzw.
> [mm]\alpha_{t}(\vec{x})=\vec{0}[/mm] aber da komme ich irgendwie
> nicht drauf :(
> hat jmd. nen Tipp?
Poste dazu Deine bisherigen Rechenschritte.
Gruss
MathePower
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