Irreduziblität eines Polynoms < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:17 Mo 03.11.2008 | | Autor: | Fry |
Hallo,
versuche gerade eine Aufgabe aus einem Algebra-Buch zu knacken.
Man soll zeigen, dass [mm] X^{p}-X-1 [/mm] irreduzibel in [mm] \IF_{p}[X] [/mm] für [mm] p\in\IP [/mm] ist.
Dazu soll man sich f(X+1) anschauen und die Primfaktorzerlegung anschauen...
also [mm] f(X+1)=(X+1)^{p}-X-2
[/mm]
[mm] =X^{p}+\vektor{p \\ 1}X^{p-1}+....+\underbrace{\vektor{p \\ p-1}X - X}_{=(p-1)X} \underbrace{+\vektor{p \\ p} - 2 }_{=p-1} [/mm]
Hier könnte man ja wunderbar Eisenstein anwenden, aber [mm] \IF_{p} [/mm] besitzt ja als Körper keine Primelemente. Kann mir jemand weiterhelfen ?
Steh auf dem Schlauch. Wahrscheinlich muss ich die Aufgabe ganz anders angehen.
Gruß
Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:32 Mo 03.11.2008 | | Autor: | statler |
Hi,
da in [mm] F_p [/mm] p = 0 ist, ist f(X+1) gerade wieder f(X). Vermutlich muß man der Sache irgendwie anders beikommen.
Gruß
Dieter
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:21 Mo 03.11.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> versuche gerade eine Aufgabe aus einem Algebra-Buch zu
> knacken.
> Man soll zeigen, dass [mm]X^{p}-X-1[/mm] irreduzibel in [mm]\IF_{p}[X][/mm]
> für [mm]p\in\IP[/mm] ist.
> Dazu soll man sich f(X+1) anschauen und die
> Primfaktorzerlegung anschauen...
Wird dies explizit als Hinweis gegeben?
Oder meinst du die Linearfaktorzerlegung und nicht die Primfaktorzerlegung?
Weil $f(X + 1) = f(X)$ zeigt ja, dass wenn [mm] $\alpha$ [/mm] eine Nullstelle ist, die Elemente [mm] $\{ \alpha, \alpha + 1, \dots, \alpha + p - 1 \}$ [/mm] ebenfalls Nullstellen sind, womit $f = [mm] \prod_{t \in \F_p} [/mm] (x - [mm] (\alpha [/mm] + t))$ ist.
Um zu zeigen, dass dieses Polynom irreduzibel ist, kannst du zeigen, dass die Galoisgruppe eines Zerfaellungskoerpers des Polynoms ueber [mm] $\IF_p$ [/mm] transitiv auf der Nullstellenmenge operiert. Die Galoisgruppe wird von [mm] $\varphi [/mm] : z [mm] \mapsto z^p$ [/mm] erzeugt.
Aber berechne doch mal [mm] $\varphi(\alpha)$ [/mm] fuer eine Nullstelle [mm] $\alpha$ [/mm] von dem Polynom; was kommt heraus?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:03 Fr 07.11.2008 | | Autor: | Fry |
Hi Felix,
also [mm] \phi(a)=a^{p}=a, [/mm] also Nullstelle wird auf Nullstelle abgebildet. Woher weiß ich denn das der Frobeniushomom. Erzeuger ist ? Und was bringt mir das genau ? Denn eigentlich soll ich doch zu zwei beliebigen Nullstellen a,b einen Automorphismus [mm] \phi [/mm] mit phi(a)=b finden. Bin gerade etwas verwirrt. Sorry, hab mich noch nicht so richtig intensiv mit der Galoistheorie auseinandergesetzt.
Gruß
Christian
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:14 Sa 08.11.2008 | | Autor: | statler |
Hi Christian!
> also [mm]\phi(a)=a^{p}=a,[/mm] also Nullstelle wird auf Nullstelle
> abgebildet.
Aber nicht so! Wenn a eine Nullstelle ist (wovon ich mal ausgehe), dann ist [mm] a^p [/mm] = a + 1. Das sagt mir gerade die zu a gehörige Gleichung.
> Woher weiß ich denn daß der Frobeniushomom.
> Erzeuger ist ?
Endliche Erweiterungen endlicher Körper sind immer galoissch mit zyklischer Galoisgruppe und dem Frobenius als einem erzeugenden Element.
> Und was bringt mir das genau ? Denn
> eigentlich soll ich doch zu zwei beliebigen Nullstellen a,b
> einen Automorphismus [mm]\phi[/mm] mit phi(a)=b finden. Bin gerade
> etwas verwirrt. Sorry, hab mich noch nicht so richtig
> intensiv mit der Galoistheorie auseinandergesetzt.
Wenn b = a+r ist, dann mußt du nur die richtige Potenz von [mm] \phi [/mm] nehmen. Welche wohl?
Gruß aus Hamburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:29 Sa 08.11.2008 | | Autor: | Fry |
Hallo,
vielen Dank für deine Antwort.
Hab alles verstanden.Das müsste dann wohl dementsprechende die rte Potenz von [mm] \varphi [/mm] sein.
LG
Christian
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