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Sei [mm] (\IZ,+) [/mm] Gruppe und [mm] (2\IZ,+) [/mm] Untergruppe von [mm] (\IZ,+). [/mm] Jetzt will ich zeigen, dass die Untergruppe ein inverses Element besitzt. Das Sie eins besitzt ist klar, es ist 2z^(-1).
Folgendermaßen würde ich es zeigen:
[mm] 2z_{1}+2z_{2}=e
[/mm]
<=> [mm] 2z_{1}+2z_{1}^{-1}+2z_{2}=e+2z_{1}^{-1}
[/mm]
<=> [mm] e+2z_{2}=e+2z_{1}^{-1}
[/mm]
<=> [mm] 2z_{2}=2z_{1}^{-1}
[/mm]
=> [mm] 2z_{2}=z_{1}^{-1}+z_{1}^{-1}, [/mm] was ja eindeutig die Inverse zu [mm] 2z_{1}=z_{1}+z_{1} [/mm] ist.
Kann mir einer sagen, ob man das so machen kann?
Vielen Dank im Voraus!
PS: Es handelt sich hierbei nicht um eine Übungsaufgabe, sondern lediglich um eine Klausurvorbereitung.
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Hallo,
dir ist leider ein Fehler unterlaufen.
Du hast doch additive Gruppen! Du bildest aber Kehrwerte. Damit erhältst du aber doch Brüche, die gar nicht zur Menge Z gehören!
Gruß korbinian
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Wo bilde ich kerkerte? [mm] 2z_{1}^{-1} [/mm] ist die Inverse und kein Bruch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:00 Fr 24.06.2016 | | Autor: | fred97 |
> Wo bilde ich kerkerte? [mm]2z_{1}^{-1}[/mm] ist die Inverse und kein
> Bruch
In [mm] (\IZ,+) [/mm] ist die Gruppenverknüpfung die Addition. Das zu z geh. inverse Element ist $-z$
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:44 Fr 24.06.2016 | | Autor: | Chris84 |
> > Wo bilde ich kerkerte? [mm]2z_{1}^{-1}[/mm] ist die Inverse und kein
> > Bruch
>
>
>
> In [mm](\IZ,+)[/mm] ist die Gruppenverknüpfung die Addition. Das zu
> z geh. inverse Element ist [mm]-z[/mm]
>
> FRED
>
Ist das nicht reine Definitionssache, wie ich so ein Ding benenne!???
Wenn ich lustig waere, koennte ich doch auch in [mm] $\IR$ [/mm] das Inverse der Addition als $x ^{-1}$ und das Inverse der Multiplikation als $-x$ bezeichnen, oder irre ich!?
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> Sei [mm](\IZ,+)[/mm] Gruppe und [mm](2\IZ,+)[/mm] Untergruppe von [mm](\IZ,+).[/mm]
Hallo,
das find' ich schon merkwürdig. Wieso "sei"?
Das ist doch so.
Sinnvoll wäre doch eher: zeige, daß [mm] (2\IZ,+) [/mm] Untergruppe von [mm] (\IZ,+) [/mm] ist.
> Jetzt will ich zeigen, dass die Untergruppe ein inverses
> Element besitzt.
Das wäre nicht sinnvoll.
Zu zeigen ist, daß jedes(!) Element von [mm] (2\IZ,+) [/mm] ein inverses Element (in [mm] (2\IZ,+)) [/mm] hat.
Bevor Du damit loslegst, sollte Dir klar sein, wieso [mm] (\IZ,+) [/mm] eine Gruppe ist, welches ihr neutrales Element ist, und welches Element zu [mm] z\in\IZ [/mm] sein inverses ist.
Was ist z.B. für [mm] 5\in (\IZ,+) [/mm] das inverse Element?
Und was für [mm] -10\in (\IZ,+)?
[/mm]
So. Nun zeigen wir, daß jedes Element in [mm] (2\IZ, [/mm] +) ein inverses hat:
Sei [mm] z\in 2\IZ.
[/mm]
(Wie ist z dann gemacht? So:)
Dann gibt es ein z' [mm] \in\IZ [/mm] mit z=2*z'.
Jetzt überlegst Du Dir, welches das dazu inverse Element ist.
Dann rechnest Du vor, daß diese Element alles tut, was es tun soll.
Wenn Du nicht gleich klarkommst:
überlege Dir, warum [mm] 10\in 2\IZ.
[/mm]
Überlege Dir, welches das inverse Element dazu ist, warum es das ist, und warum dieses Element in [mm] 2\IZ [/mm] ist.
Schlauer, als alle Gruppeneigenschaften nachzuweisen, wenn man zeigen möchte, daß [mm] (2\IZ,+) [/mm] eine Gruppe ist, ist es, die Untergruppenkriterien nachzuweisen.
Hier:
0. [mm] (2\IZ,+)\subseteq (\IZ,+)
[/mm]
1. [mm] (2\IZ,+)\not=\emptyset,
[/mm]
alternativ
1'. Das neutrale Element von [mm] (\IZ,+) [/mm] ist in [mm] (2\IZ,+)
[/mm]
2. wenn [mm] z\in 2\IZ [/mm] ist, ist auch sein inverses Element in [mm] 2\IZ
[/mm]
3. für x,y [mm] \in 2\IZ [/mm] ist auch [mm] x+y\in 2\IZ.
[/mm]
LG Angela
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