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Integration durch Substitution: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:29 Sa 24.07.2004
Autor: sevens

Hallo!

Ich bin gerade bei der Klausurvorbereitung und habe ein kleines Problem mit dem folgenden unbestimmten Integral:


[mm] \integral{(e^{3x}+1)/(e^{x}+1) dx} [/mm]

Es müsste ja durch Substitution geben, ich habe aber keinen Schimmer, was ich substituieren muss, um das Ding zu lösen. Kann mir bitte jemand helfen?

Vielen Dank

S.

Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
        
Bezug
Integration durch Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:20 Sa 24.07.2004
Autor: Clemens

Hallo sevens!

Man substituiert immer das weg, was Probleme macht. Hier macht die Exponentialfunktion meiner Ansicht nach Probleme, also:

u = [mm] e^{x} [/mm]

Du musst dann noch dx durch du und u ausdrücken und musst anschließend eine gebrochen rationale Funktion integrieren. Kannst du das?

Übrigens: Die Substitution ist in diesem Fall nicht alternativlos. Führst du sie durch, muss du eine Polynomdivision machen. Das kannst du aber im Prinzip auch jetzt schon:

[mm] ((e^{x})^{3} [/mm] + [mm] 0*(e^{x})^{2} [/mm] + [mm] 0*(e^{x})^{1} [/mm] + 1) / [mm] (e^{x} [/mm] + 1) = ....


Gruß Clemens
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Bezug
Integration durch Substitution: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:56 Sa 24.07.2004
Autor: sevens

Hallo Clemens,

danke für die Antwort. Das Ding müsste ja nun so aussehen:

[mm] \integral{((u^{3}+1)/(u+1))(du/e^{x})} [/mm]

Doch wie kann ich jetzt weiter verfahren, wie bekomme ich dieses [mm] {e^{x}} [/mm] weg? Oder habe ich formal etwas falsch gemacht?

Gruß

S.
Bezug
                        
Bezug
Integration durch Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:30 So 25.07.2004
Autor: Stefan

Hallo Sevens!

> danke für die Antwort. Das Ding müsste ja nun so
> aussehen:
>  
> [mm]\integral{((u^{3}+1)/(u+1))(du/e^{x})} [/mm]

[ok]

Jetzt kannst du ja das [mm] $e^x$ [/mm] noch durch $u$ ersetzen. Dann erhältst du:

[mm] $\int\limits \frac{u^3 + 1}{u^2 + u}\, [/mm] du$.

Nun führst du eine Polynomdivision durch:

[mm](u^3 + 1) : (u^2 + u) = u - 1 + \frac{u+1}{u^2 + u}[/mm]
[mm]- (u^3 + u^2)[/mm]
[mm]-----[/mm]
[mm]-u^2 + 1[/mm]
[mm]- (-u^2 - u)[/mm]
[mm]-----[/mm]
[mm]u+1[/mm]

Kürzt man jetzt noch den letzten Bruch, so erhält man das zu lösende Integral:

[mm] $\int\limits \left(u - 1 + \frac{1}{u} \right)\, [/mm] du$,

und das lässt sich elementar integrieren.

Wie lautet also dein Ergebnis?

Im Übrigen ist der von Clemens zitierte Alternativweg wirklich sehr viel schöner. Du Polynomdivision erhältst du:

[mm](e^{3x} + 1) : (e^x + 1) = e^{2x} - e^x + 1[/mm]
[mm]- ( e^{3x} + e^{2x})[/mm]
[mm]-----[/mm]
[mm]-e^{2x} + 1[/mm]
[mm]- ( -e^{2x} - e^x )[/mm]
[mm]-----[/mm]
[mm]e^x + 1[/mm]
[mm]- ( e^x + 1)[/mm]
[mm]-----[/mm]
[mm]0[/mm]

und die Funktion [mm] $f(x)=e^{2x}-e^x+1$ [/mm] lässt sich doch hervorragend integrieren, oder?

Du kannst das ja zur Übung auch mal machen und deine beiden Ergebnisse vergleichen. :-)

Liebe Grüße
Stefan

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