Integral mittels Residuensatz < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:33 Mo 16.02.2009 | | Autor: | feelx86 |
| Aufgabe | Berechne das folgende Integral:
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{(\bruch{t}{1+4t^2})^2 dt}
[/mm]
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich möchte obenstehendes Integral mittels Residuensatz lösen, allerdings steh ich da ein bisschen auf dem Schlauch was die genaue Vorgehensweise angeht.
Die Nullstellen zu finden ist ja an sich kein Problem, aber wie genau zerlege ich nun den Nenner in linearfaktoren? wenn ich einfach nur die Nullstellen als Terme hinschreibe dann müsste ich ja noch einen Vorfaktor ermitteln.
es gibt jeweils eine doppelte Nullstelle bei [mm] t=+\bruch{1}{2}i [/mm] und [mm] t=-\bruch{1}{2}i
[/mm]
damit ergibt sich
[mm] \bruch{t}{ \lambda*(t-0.5i)(t+0.5i)})^2 [/mm]
aber wie ermittel ich nun [mm] \lambda [/mm] ?
oder gibt es eine andere Möglichkeit um auf eine Darstellung zu kommen, wo man den Residuensatz vernünftig anwenden kann?
Danke schonmal
feelx86
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:11 Di 17.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du direkt den Nenner als [mm] 4*(t^2+0.5^2) [/mm] schreibst brauchst du dein [mm] \lambda [/mm] nicht, bzw hast direkt [mm] \lambda=4
[/mm]
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:43 Di 17.02.2009 | | Autor: | feelx86 |
Hallo leduart,
deine Umformung ist zwar eigentlich nicht schwer aber irgendwie bin ich da nicht drauf gekommen.
Gibt es da irgendeinen "Trick" oder eine Systematik, dass man eine solche Umformung durch scharfes hinsehen erkennt?
z.b. dass man es so umformen muss dass das t alleine stehen muss oder ähnliches?
Gruß
feelx86
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:54 Di 17.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ja, Polynome mit 1 bei der hoechsten Potenz, sind einfach das Produkt der NSt. also immer so ausklammern.
(sollte klar sein, wenn man [mm] \produkt_{i=1}^{n}(x-a_i) [/mm] ansieht)
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:36 Di 17.02.2009 | | Autor: | feelx86 |
Hallo leduart,
Gut zu wissen, vielen Dank für deine Hilfe
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