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Initial- u. Finaltopologie: Beweis
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 12:15 Mi 07.03.2012
Autor: dennis2

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Aufgabe
Seien $(X,\tau),(Y,\eta),(Z,\zeta)$ topologische Räume und $f\colon: (X,\tau)\to (Y,\eta)$ sowie $g\colon (Y,\eta)\to (Z,\zeta)$ stetige Abbildungen.

Zeigen Sie:

Ist $(Z,\zeta)=(X,\tau)$ und ist $g\circ f=id_X$, so trägt das Ziel von $g\colon (Y,\eta)\to (X,\tau)$ die Finaltopologie und die Quelle von $f\colon (X,\tau)\to (Y,\eta)$ die Initialtopologie.

Hallo, ich würde gerne das mit der Initialtopologie beweisen, daß also die Quelle von $f\colon (X,\tau)\to (Y,\eta)$ die Initialtopologie trägt.

Das habe ich so aufgefasst, daß ich zeigen soll, daß f die Initialtopologie auf X induziert.

Ich habe in einer vorherigen Teilaufgabe gezeigt, daß f die Initialtopologie auf X induziert, wenn $g\circ f$ die Initialtopologie auf X induziert. Ich würde also jetzt zeigen wollen, daß $g\circ f=id_X$ die Initialtopologie auf X induziert.

Dazu habe ich mir die Subbasis $\mathcal{S}$ der von $g\circ f$ induzierten Initialtopologie angeschaut:

$\mathcal{S}=\left\{f^{-1}({g^{-1}(O))~|~O\in\tau\right\}=\left\{id_X^{-1}(O)~|~O\in\tau\right\}=\left\{O~|~O\in\tau\right\}=\tau$

Das bedeutet doch Folgendes:

$\mathcal{S}$ erzeugt die Initialtopologie auf X, dies ist die kleinste Topologie, die $\mathcal{S}$ enthält. Da $\mathcal{S}=\tau$, ist $\tau$ die kleinste Topologie, die $\mathcal{S}$ enthält. Also muss $\tau$ die Initialtopologie auf X sein.

Das wäre mein Beweis.

Ist er okay?

        
Bezug
Initial- u. Finaltopologie: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:22 Fr 09.03.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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