Induzierte Matrixnorm ... < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:36 Sa 14.08.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Abend,
Habe übermogen LineA Test, und das mit den Matrixnormen hab ich immer noch nicht (so) im Griff.
Sei T die n x n Matrix T = [mm] diag(\bruch{1}{u^{n-1}},\bruch{1}{u^{n-2}},...,\bruch{1}{u},1), [/mm] u > 0
Mit [mm] ||x||_{u} [/mm] := [mm] ||T^{-1}*x||_{\infty} [/mm] wird eine Norm induziert.
Das ist die Zeilensummennorm. Ich weiss wie man die berechnet. Auch hab ich den Beweis vor mir liegen, dass das wirklich eine Norm induziert.
Ausserdem, gilt für Diagonalmatrizen, das die Inverse, einfach gebildet wird, in dem man die Diagonalelemente mit hoch -1 nimmt.
Jetzt hab ich aber zwei Aufgaben mit Lsg die ich nicht verstehe:
1.
Bestimmen sie zu gegebener Matrix A die Matrix B für die gilt:
[mm] ||A||_{u} [/mm] = [mm] ||B||_{\infty}
[/mm]
Lösung: B = [mm] T^{-1}*A*T
[/mm]
2.
Berechnen sie [mm] ||C||_{u} [/mm] für
C = [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & ... \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
C ist so eine Verschobene Einheitsmatrix, beliebig gross...
Lösung:
[mm] ||C||_{u} [/mm] = [mm] ||u*C||_{\infty} [/mm] = [mm] u*||C||_{\infty} [/mm] = u
Ich weiss vor allem nicht wie ich eben zu einer Matrix A oder C oder welche auch immer diese induzierte norm berechnen soll. Da steht ja bei der Def.
[mm] ||x||_{u} [/mm] := [mm] ||T^{-1}*x||_{\infty}
[/mm]
x ist ja ein Vektor, wie soll ich die Norm einer Matrix C jetzt bestimmen?
Danke!!
...
|
|
| |
|
Hallo qsxqsx,
die von der Vektorraumnorm [mm] $\|\cdot\|_u$ [/mm] induzierte Matrixnorm (Operatornorm) [mm] $\|\cdot\|_u$ [/mm] (gleiche Bezeichnung) ist wie folgt definiert:
[mm] $\|A\|_{u} [/mm] := [mm] \sup\limits_{\|x\|_u = 1}\|Ax\|_u [/mm] = [mm] \sup\limits_{\|T^{-1}x\|_\infty = 1}\|T^{-1}Ax\|_\infty$
[/mm]
($x$ Vektor, $A$ Matrix, $ T = [mm] diag(\bruch{1}{u^{n-1}},\bruch{1}{u^{n-2}},...,\bruch{1}{u},1)$)
[/mm]
LG mathfunnel
|
|
|
|
