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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:11 Sa 20.11.2010 | | Autor: | racy90 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
Ich scheiter wiedermal an einer Induktionsaufgabe :(
das Bsp lautet:
[mm] 1^2-2^2+3^2-......+(-1)^{n-1} *n^2=(-1)^{n-1} [/mm] *n(n+1)/2
Ich hab jetzt mal n durch n+1 ersetzt und komme auf das
[mm] (-1)^{n-1}*n(n+1)/2-(-1)^n*(n+1)^2=(-1)^{n-1}*n(n+1)/2-(-1)^n*(n+1)^2
[/mm]
und wie geht es jetzt weiter oder war schon der vorige Schritt falsch?
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Hallo racy90 und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hallo,
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> Ich scheiter wiedermal an einer Induktionsaufgabe :(
>
> das Bsp lautet:
>
> [mm]1^2-2^2+3^2-......+(-1)^{n-1} *n^2=(-1)^{n-1}[/mm] *n(n+1)/2
>
> Ich hab jetzt mal n durch n+1 ersetzt und komme auf das
>
> [mm](-1)^{n-1}*n(n+1)/2-(-1)^n*(n+1)^2=(-1)^{n-1}*n(n+1)/2-(-1)^n*(n+1)^2[/mm]
>
> und wie geht es jetzt weiter oder war schon der vorige
> Schritt falsch?
Du warst ein bisschen flott, hinten muss ein "+" stehen vor dem [mm]n+1[/mm]-ten Summanden:
Schreibe mal lieber schön nach Schema die Induktionsvoraussetzung und die I.beh. auf, dann ist es übersichtlicher:
IV: Sei [mm]n\in\IN[/mm] beliebig, aber fest und gelte [mm]\red{1^2-2^2+3^2\mp\ldots+(-1)^{n-1}n^2=(-1)^{n-1}\cdot{}\frac{n(n+1)}{2}}[/mm]
Ibeh.: Die Aussage gilt auch für [mm]n+1[/mm]
dh. zu zeigen: [mm]1^2-2^2+3^2\mp\ldots+(-1)^{n-1}n^2\red{+}(-1)^n(n+1)^2=(-1)^{n}\cdot{}\frac{(n+1)(n+2)}{2}}[/mm]
Dazu nimm die linke Seite her, teile sie in die Summe mit den ersten n Summanden und schreiben den letzten, also den [mm](n+1)[/mm]-ten Summanden hintendran:
[mm]1^2-2^2+3^2\mp\ldots+(-1)^{n-1}n^2\red{+}(-1)^n(n+1)^2=\red{\left[1^2-2^2+3^2\mp\ldots+(-1)^{n-1}n^2\right]} \ + \ (-1)^n(n+1)^2[/mm]
Nun kannst du die IV auf die rote Summe anwenden und sie ersetzen durch [mm]\red{(-1)^{n-1}\frac{n(n+1)}{2}[/mm]
Also [mm]\red{\left[1^2-2^2+3^2\mp\ldots+(-1)^{n-1}n^2\right]} \ + \ (-1)^n(n+1)^2 \ = \ \red{(-1)^{n-1}\cdot{}\frac{n(n+1)}{2}}} \ + \ (-1)^n(n+1)^2[/mm]
Das rechne nun zusammen, bis schließlich [mm]\ldots=(-1)^n\cdot{}\frac{(n+1)(n+2)}{2}[/mm] dasteht, also die rechte Seite der Ibeh.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 Sa 20.11.2010 | | Autor: | racy90 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Okay aber wie kommst du von $ \red{\left[1^2-2^2+3^2\mp\ldots+(-1)^{n-1}n^2\right]} \ + \ (-1)^n(n+1)^2 \ = \ \red{(-1)^{n-1}\cdot{}\frac{n(n+1)}{2}}} \ + \ (-1)^n(n+1)^2 $
auf $ \ldots=(-1)^n\cdot{}\frac{(n+1)(n+2)}{2} $
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Hallo nochmal,
> Okay aber wie kommst du von
> [mm]\red{\left[1^2-2^2+3^2\mp\ldots+(-1)^{n-1}n^2\right]} \ + \ (-1)^n(n+1)^2 \ = \ \red{(-1)^{n-1}\cdot{}\frac{n(n+1)}{2}}} \ + \ (-1)^n(n+1)^2[/mm]
>
> auf [mm]\ldots=(-1)^n\cdot{}\frac{(n+1)(n+2)}{2}[/mm]
Na, das ist die eigentliche Aufgabe hier ... 
Mache gleichnamig und klammere dann [mm] $(-1)^n(n+1)$ [/mm] aus ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:57 Sa 20.11.2010 | | Autor: | racy90 |
Meinst du das halbe n(n+1)/2 wegbringen das alles bruchfrei dasteht?
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Hallo nochmal,
> Meinst du das halbe n(n+1)/2 wegbringen das alles
> bruchfrei dasteht?
Nein, das hintere [mm] $(-1)(n+1)^2$ [/mm] auf "Halbe" bringen, damit du Brüche hast, die du addieren kannst ..
Gruß
schachuzipus
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