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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Hänge bei VI im Indukt.Schritt
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Hänge bei VI im Indukt.Schritt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:40 Mo 07.11.2005
Autor: MissYumi

Ich soll zeigen:

[mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] k² = [mm] \bruch{1}{3}n²+ \bruch{1}{2}n²+ \bruch{1}{6}n [/mm]

Im Induktionsschritt hab ich folgendes:

[mm] \summe_{k=1}^{n+1} [/mm] k² =  [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] k²  + [mm] (n+1)^2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}n²+ \bruch{1}{2}n²+ \bruch{1}{6}n [/mm]

[mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] k² = [mm] \bruch{1}{3}n²+ \bruch{1}{2}n²+ \bruch{1}{6}n [/mm] + [mm] (n+1)^2 [/mm]

ja.. nun häng ich etwas... ich soll ja auf das kommen:

[mm] \summe_{k=1}^{n+1} [/mm] k² = [mm] \bruch{1}{3}(n+1)^2+ \bruch{1}{2}(n+1)^2+ \bruch{1}{6}(n+1) [/mm]

ich habs mit umstellen und ausmultiplizieren versucht sieht aber nicht viel besser aus. Brauch ein wenig hilfe bitte. Vielen Dank!

        
Bezug
Hänge bei VI im Indukt.Schritt: hinweis
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:31 Mo 07.11.2005
Autor: Dugbug

Der Induktionsanfang stimmt noch aber beim schluß von n auf n+1 mußt du auf der rechten seite (n+1)² auch dazuzählen, ich komm auf
also neues K= k+1
    [mm] \summe_{K=1}^{n}K²= \bruch{1}{3}*(n+1)²+\bruch{1}{2}(n+1)²+\bruch{1}{6}(n+1)+\bruch{n}{3} [/mm] +n²

Das bedeutet das  [mm] \summe_{k=1}^{n}k²=\bruch{1}{3}*n²+\bruch{1}{2}n²+\bruch{1}{6}n [/mm] nicht  für jede nätürliche Zahl n [mm] \in \IN [/mm] gilt

Bezug
                
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Hänge bei VI im Indukt.Schritt: Sorry mein Fehler
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:59 Mo 07.11.2005
Autor: MissYumi

Hatte einen Tippfehler. Das erste n muss n³ sein. Denke ich kanns so lösen. Trotzdem danke!!!!

Bezug
        
Bezug
Hänge bei VI im Indukt.Schritt: Ausmultiplizieren + Tipp
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:43 Di 08.11.2005
Autor: Loddar

Hallo MissYumi!


Im Zweifelsfalle kannst Du ja einfach mal beide Terme ausmultiplizieren und dann vergleichen. Das ist durchaus legitim.


Ansonsten hilft vielleicht folgender Tipp:

[mm]\bruch{1}{3}n^3+ \bruch{1}{2}n^2+ \bruch{1}{6}n \ = \ \bruch{n*(n-1)*(2n-1)}{6}[/mm]

Dann funktioniert es nämlich mit geschicktem Ausklammern.


Gruß
Loddar


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