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Grenzwertbest.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:30 Do 20.10.2011
Autor: Fry


Hallo zusammen,

ich möchte gerne zeigen,
dass [mm] $\lim_{\n\to\infty}\frac{e^{\sqrt{2x}}}{3^x}=0$. [/mm]
Ich habs schon mit L`Hospital versucht,komme damit allerdings nicht weiter.
Hätte jemand einen Tipp für mich?

Vielen Dank!
LG
Fry


        
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Grenzwertbest.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:36 Do 20.10.2011
Autor: schachuzipus

HallO Fry,


>
> Hallo zusammen,
>  
> ich möchte gerne zeigen,
>  dass [mm]\lim_{\n\to\infty}\frac{e^{\sqrt{2x}}}{3^x}=0[/mm].
>  Ich habs schon mit L'Hospital versucht,komme damit
> allerdings nicht weiter.
>  Hätte jemand einen Tipp für mich?

Kannst du's nicht mittels Potenzgesetzen umschreiben in [mm]\frac{e^{\sqrt{2x}}}{3^x}=\frac{e^{\sqrt{2x}}}{e^{x\ln(3)}}=e^{\sqrt{2x}-x\ln(3)}[/mm]

und dann wegen der Stetigkeit der Exponentialfunktion [mm](\lim\limits_{x\to x_0}e^{g(x)}=e^{\lim\limits_{x\to x_0}g(x)}[/mm]) untersuchen, was der Exponent für [mm]x\to\infty[/mm] treibt?

>  
> Vielen Dank!
>  LG
>  Fry
>  

Gruß

schachuzipus


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Grenzwertbest.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:28 Do 20.10.2011
Autor: Fry


[#000000]Hey schachuzipus,

vielen Dank! Habs darüber auch schon probiert, aber erfolgslos. Hab versucht zu zeigen, dass für gewisse x die Funktion streng monoton fallend und größer 0 ist. Dabei bin ich aber nicht weiter gekommen. Könntest du mir da nochmal nen Hinweis geben?

LG!
[/#000000]


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Grenzwertbest.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:35 Do 20.10.2011
Autor: fred97

Schachuzipus hatte Dir gezeigt:

$ [mm] \frac{e^{\sqrt{2x}}}{3^x}=\frac{e^{\sqrt{2x}}}{e^{x\ln(3)}}=e^{\sqrt{2x}-x\ln(3)} [/mm] $

Nun gilt doch: [mm] $g(x):=\sqrt{2x}-x\ln(3) \to -\infty$ [/mm]  für $x [mm] \to \infty$ [/mm]

Was treibt dann [mm] e^{g(x)} [/mm]  für $x [mm] \to \infty$ [/mm] ?

FRED

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Grenzwertbest.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:39 Do 20.10.2011
Autor: Fry


Hey Fred,

das ist mir klar, der Exponent geht gegen [mm] -\infty, [/mm] also der ganze Term gegen 0. Aber warum genau geht der Exponent gegen [mm] -\infty? [/mm] Schließlich strebt ja der Wurzelausdruck gegen [mm] \infty [/mm] und der lineare Ausdruck gegen [mm] -\infty. [/mm]
Also mal abgesehen von dem Argument, dass Wurzelausdrücke langsamer wachsen als Potenzfunktionen, wie könnte man das genau zeigen?

VG


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Grenzwertbest.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:46 Do 20.10.2011
Autor: fred97


>
> Hey Fred,
>  
> das ist mir klar, der Exponent geht gegen [mm]-\infty,[/mm] also der
> ganze Term gegen 0. Aber warum genau geht der Exponent
> gegen [mm]-\infty?[/mm] Schließlich strebt ja der Wurzelausdruck
> gegen [mm]\infty[/mm] und der lineare Ausdruck gegen [mm]-\infty.[/mm]
>  Also mal abgesehen von dem Argument, dass Wurzelausdrücke
> langsamer wachsen als Potenzfunktionen, wie könnte man das
> genau zeigen?
>  
> VG
>  

Für a,b >0 und x>0 kannst Du mit [mm] x=t^2 [/mm] schreiben:

    [mm] $a\wurzel{x}-bx= at-bt^2$ \to -\infty [/mm] für t [mm] \to \infty [/mm]

FRED

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Grenzwertbest.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:03 Do 20.10.2011
Autor: Fry

...und das gilt wegen [mm] $at-bt^2=t^2(\frac{a}{t}-b)\to -\infty$ [/mm] ,oder?

Ändert sich generell der Grenzwert nicht, wenn man die Variable durch eine andere substituiert, die das dasselbe Grenzverhalten aufweist?
Gibts dafür nen Beweis?

Vielen Dank nochmal ! :)


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Grenzwertbest.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:14 Do 20.10.2011
Autor: leduart

Hallo
wie  die variable heisst ist doch egal, klar muss sein dass mit [mm] t^2 [/mm] gegen [mm] \infty [/mm] auch t gegen [mm] \infty [/mm] geht.
Gruss leduart


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Grenzwertbest.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:18 Do 20.10.2011
Autor: reverend

Hallo leduart,

>  wie  die variable heisst ist doch egal, klar muss sein
> dass mit [mm]t^2[/mm] gegen [mm]\infty[/mm] auch t gegen [mm]\infty[/mm] geht.

Das ist aber i.a. nicht klar. Immerhin könnte t auch gegen [mm] -\infty [/mm] gehen. Folgern kann man nur, dass [mm] |t|\to +\infty [/mm] läuft.

Grüße
reverend


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