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Hallo
Ich habe eine Frage zum Orthogonalisierungsverfahren von Gram-Schmidt. Das Ganze ist mir klar im [mm] \IR^n [/mm] mit Standardskalarprodukt. Aber kann man das Verfahren nahtlos übernehmen, wenn man z.B. den Vektorraum aller Polynome nimmt und dort ein Skalarprodukt per Integral definiert?
Beispiel: V = VR der reellen Polynome vom Grad [mm] \le [/mm] 2
B(p,q) = [mm] \integral_{-1}^{1}{p(x)q(x) dx}
[/mm]
Danke und Gruss
Björn
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Hallo
> Ich habe eine Frage zum Orthogonalisierungsverfahren von
> Gram-Schmidt.
Ich kenne das Verfahren nur für endlich-dimensionale Vektorräume. Dann allerdings funktioniert es in jedem euklidischen (bzw unitären) Vektorraum. also nicht nur im [mm] \IR^{n}. [/mm]
>..... Aber kann man das Verfahren nahtlos
> übernehmen, wenn man z.B. den Vektorraum aller Polynome
> nimmt und dort ein Skalarprodukt per Integral definiert?
Dieser Vektorraum ist ja unendlich-dimensional. Da das Verfahren doch eine Orthonormalbasis liefern soll und diese schrittweise konstruiert, muss es hier wohl versagen. Aber in jedem endlich-dimensionalen Untervektorraum funktioniert es.
> Beispiel: V = VR der reellen Polynome vom Grad [mm]\le[/mm] 2
> B(p,q) = [mm]\integral_{-1}^{1}{p(x)q(x) dx}[/mm]
Ja. hier geht´s.(s.oben)
Gruß korbinian
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Danke für die Hilfe. Noch eine Frage zum unendlich-dimensionalen Vektorraum: dort enthält ja die Basis eine unendliche linear unabhängige Teilmenge; heisst dies, dass man das Verfahren zwar anwenden könnte, aber dass das Ganze nur an der Unendlichkeit scheitert. D.h. z.B. im VR aller reellen Polynome würde man einfach nie an ein Ende kommen. Aber gibt es Räume mit Skalarprodukt, in denen das Verfahren an sich scheitert (und nicht daran, dass man es bis in alle Unendlichkeit fortsetzen müsste)?
Gruss
Björn
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Hallo
Ich fürchte, im unendlichen Fall kann ich keine allgemeine Aussage machen.
> Danke für die Hilfe. Noch eine Frage zum
> unendlich-dimensionalen Vektorraum: dort enthält ja die
> Basis eine unendliche linear unabhängige Teilmenge;
Ich bin mir nicht sicher, ob man von Anfang an eine Basis hat. Werde das gleich nacher zur Diskussion stellen.( Basis im [mm] \IQ- [/mm] Vektorraum [mm] \IR?)
[/mm]
>heisst
> dies, dass man das Verfahren zwar anwenden könnte, aber
> dass das Ganze nur an der Unendlichkeit scheitert. D.h.
> z.B. im VR aller reellen Polynome würde man einfach nie an
> ein Ende kommen.
In diesem Beispiel: ja
> Aber gibt es Räume mit Skalarprodukt, in
> denen das Verfahren an sich scheitert (und nicht daran,
> dass man es bis in alle Unendlichkeit fortsetzen müsste)?
Vielleicht, wenn man gar keine Basis kennt???
Gruß korbinian
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