Gleichung von Kreis bestimmen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:13 Do 30.09.2010 | | Autor: | anno |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie eine Gleichung des Kreises, auf dem die drei Punkte A=(-1,2) B=(5,0) und C=(1,-2) liegen. |
Ich denke ich muss dafür die Formel
[mm] r^{2}=(x-x_{M})^{2}+(y-y_{M})^{2}
[/mm]
benutzen.
Dann denke ich, müssen die Punkte in die Formeln eingetragen werden.
[mm] r_{A}^{2}=(x-x_{A})^{2}+(y-y_{A})^{2}
[/mm]
[mm] r_{A}^{2}=((-1)-x_{A})^{2}+(2-y_{A})^{2}
[/mm]
[mm] r_{A}^{2}=1+2x_{A}+x_{A}^{2}+4-4y_{A}+y_{A}^{2}
[/mm]
[mm] r_{B}^{2}=(x-x_{B})^{2}+(y-y_{B})^{2}
[/mm]
[mm] r_{B}^{2}=(5-x_{B})^{2}+(0-y_{B})^{2}
[/mm]
[mm] r_{B}^{2}= 25-10x_{B}+x_{B}^{2}+y_{B}^{2}
[/mm]
[mm] r_{C}^{3}=(x-x_{C})^{2}+(y-y_{C})^{2}
[/mm]
[mm] r_{C}^{2}=(1-x_{C})^{2}+((-2)-y_{A})^{2}
[/mm]
[mm] r_{C}^{2}=5-2x_{C}+x_{C}^{2}+4y_{C}+y_{C}^{2}
[/mm]
Stimmt das soweit?
Doch wie mache ich da nun weiter?
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Hallo anno,
> Bestimmen Sie eine Gleichung des Kreises, auf dem die drei
> Punkte A=(-1,2) B=(5,0) und C=(1,-2) liegen.
> Ich denke ich muss dafür die Formel
>
> [mm]r^{2}=(x-x_{M})^{2}+(y-y_{M})^{2}[/mm]
>
> benutzen.
>
> Dann denke ich, müssen die Punkte in die Formeln
> eingetragen werden.
>
> [mm]r_{A}^{2}=(x-x_{A})^{2}+(y-y_{A})^{2}[/mm]
>
> [mm]r_{A}^{2}=((-1)-x_{A})^{2}+(2-y_{A})^{2}[/mm]
>
> [mm]r_{A}^{2}=1+2x_{A}+x_{A}^{2}+4-4y_{A}^{2}+y_{A}^{2}[/mm]
>
>
>
>
> [mm]r_{B}^{2}=(x-x_{B})^{2}+(y-y_{B})^{2}[/mm]
>
> [mm]r_{B}^{2}=(5-x_{B})^{2}+(0-y_{B})^{2}[/mm]
>
> [mm]r_{B}^{2}= 25-10x_{B}+x_{B}^{2}+y_{B}^{2}[/mm]
>
>
>
> [mm]r_{C}^{3}=(x-x_{C})^{2}+(y-y_{C})^{2}[/mm]
>
> [mm]r_{C}^{2}=(1-x_{C})^{2}+((-2)-y_{A})^{2}[/mm]
>
> [mm]r_{C}^{2}=5-2x_{C}+x_{C}^{2}+4y_{C}+y_{C}^{2}[/mm]
>
>
> Stimmt das soweit?
>
> Doch wie mache ich da nun weiter?
Die Radien [mm]r_{A}, \ r_{B}, \ r_{C}[/mm] sowie die
Mittelpunkte [mm]\left(x_{A},y_{A}\right), \ \left(x_{B},y_{B}\right), \ \left(x_{C},y_{C}\right)[/mm] sind gleich.
Subtrahiere je zwei Gleichungen voneinander,
dann erhältst Du ein lineares Gleichungssystem
zur Bestimmg von [mm]x_{M}[/mm] und [mm]y_{M}[/mm].
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 21:11 Do 30.09.2010 | | Autor: | anno |
Ich habe mal das Subtraktionsverfahren probiert:
(A)-(B):
[mm] r^{2}=1+2x+x^{2}+4-4y+y^{2}
[/mm]
[mm] r^{2}=25-10x+x^{2}+y^{2}
[/mm]
[mm] r^{2}=5+2x+x^{2}-4y+y^{2}
[/mm]
[mm] r^{2}=25-10x+x^{2}+y^{2}
[/mm]
0 = -20 - 12x - 4y
4y =-20 -12x
y =-5 -3x
(B)-(C):
[mm] r^{2}=25-10x+x^{2}+y^{2}
[/mm]
[mm] r^{2}=5-2x+x^{2}+4y+y^{2}
[/mm]
0 = 20 - 8x -4y
4y =20-8x
y =5-2x
Kann man das so lassen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:16 Do 30.09.2010 | | Autor: | abakus |
> Ich habe mal das Subtraktionsverfahren probiert:
>
> (A)-(B):
>
> [mm]r^{2}=1+2x+x^{2}+4-4y+y^{2}[/mm]
> [mm]r^{2}=25-10x+x^{2}+y^{2}[/mm]
>
> [mm]r^{2}=5+2x+x^{2}-4y+y^{2}[/mm]
> [mm]r^{2}=25-10x+x^{2}+y^{2}[/mm]
>
> 0 = -20 - 12x - 4y
> 4y =-20 -12x
> y =-5 -3x
>
>
> (B)-(C):
> [mm]r^{2}=25-10x+x^{2}+y^{2}[/mm]
> [mm]r^{2}=5-2x+x^{2}+4y+y^{2}[/mm]
>
> 0 = 20 - 8x -4y
> 4y =20-8x
> y =5-2x
>
>
> Kann man das so lassen?
Was nutzt dir, was du jetzt hast?
Lies noch einmal die vorherigen Posts, was dir diese zwei erhaltenen linearen Gleichungen bringen sollen.
Gruß Abakus
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:39 Do 30.09.2010 | | Autor: | anno |
Naja, ich erstelle mir ein lineares Gleichungssystem.
Allerdings kommen da Werte für x und y heraus, die mir doch etwas groß erscheinen:
(1): y = -5 - 3x
(2): y = 5 - 2x
0 = -10 - x
x = -10
=> y = -5 -3x
y = -5 + 3*(-10)
y = 25
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Hallo anno,
> Naja, ich erstelle mir ein lineares Gleichungssystem.
>
> Allerdings kommen da Werte für x und y heraus, die mir
> doch etwas groß erscheinen:
>
> (1): y = -5 - 3x
> (2): y = 5 - 2x
>
> 0 = -10 - x
> x = -10
>
> => y = -5 -3x
> y = -5 + 3*(-10)
> y = 25
Der Fehler ist hier passiert:
(A)-(B):
[mm]r^{2}=1+2x+x^{2}+4-4y+y^{2}[/mm]
[mm]r^{2}=25-10x+x^{2}+y^{2} [/mm]
[mm]r^{2}=5+2x+x^{2}-4y+y^{2} [/mm]
[mm]r^{2}=25-10x+x^{2}+y^{2}[/mm]
Jetzt subtrahierst Du die Gleichungen:
[mm]0= \left(5+2x+x^{2}-4y+y^{2}\right)-\left(25-10x+x^{2}+y^{2}\right)[/mm]
[mm]\gdw 0=5+2x+x^{2}-4y+y^{2}-25+\left(-1\right)*\left(-10\right)-x^{2}-y^{2}[/mm]
[mm]\gdw 0= -20\red{+}12x-4y[/mm]
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:16 Do 30.09.2010 | | Autor: | anno |
ok, danke soweit mal.
Jetzt subtrahiere ich die beiden linearen Gleichungen:
0 = (-5 + 3x) - (5 - 2x)
[mm] \gdw [/mm] 0 = -5 + 3x - 5 + 2x
[mm] \gdw [/mm] 0 = -10 + 5x
[mm] \gdw [/mm] 10 = 5x
[mm] \gdw [/mm] x = 2
einsetzen in (y = -5 + 3x):
y = -5 + 3*2
y = -5 + 6
y = 1
Mittelpunktsgleichung:
[mm] r^{2}=(x-2)^{2} [/mm] + [mm] (y-1)^{2}
[/mm]
In der Lösung wurde die Mittelpunktegleichung allerdings mit
[mm] 10=(x-2)^{2} [/mm] + [mm] (y-1)^{2}
[/mm]
angegeben. Wie bekomme ich da den radius heraus?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:29 Do 30.09.2010 | | Autor: | abakus |
> ok, danke soweit mal.
>
> Jetzt subtrahiere ich die beiden linearen Gleichungen:
>
> 0 = (-5 + 3x) - (5 - 2x)
>
> [mm]\gdw[/mm] 0 = -5 + 3x - 5 + 2x
> [mm]\gdw[/mm] 0 = -10 + 5x
> [mm]\gdw[/mm] 10 = 5x
> [mm]\gdw[/mm] x = 2
>
> einsetzen in (y = -5 + 3x):
> y = -5 + 3*2
> y = -5 + 6
> y = 1
>
> Mittelpunktsgleichung:
>
> [mm]r^{2}=(x-2)^{2}[/mm] + [mm](y-1)^{2}[/mm]
>
> In der Lösung wurde die Mittelpunktegleichung allerdings
> mit
>
> [mm]10=(x-2)^{2}[/mm] + [mm](y-1)^{2}[/mm]
>
> angegeben. Wie bekomme ich da den radius heraus?
Na, berechne doch jetzt mal den Abstand von diesem vermutlichen Mittelpunkt zu einem der drei Punkte auf dem Kreis (verwende dazu die Koordinatendifferenzen und den Pythagoras).
Als Probe kannst du testen, ob der Abstand von M zu den anderen beiden Punkten der gleiche ist.
Gruß Abakus
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:48 Do 30.09.2010 | | Autor: | anno |
Super, das hat auch funktioniert:
A = (-1,2)
[mm] r^{2} [/mm] = [mm] (x_{A} [/mm] - [mm] x_{M})^{2} [/mm] + [mm] (y_{A} [/mm] - [mm] y_{M})^{2}
[/mm]
[mm] \gdw r^{2} [/mm] = (-1 - [mm] 2)^{2} [/mm] + (2 - [mm] 1)^{2}
[/mm]
[mm] \gdw r^{2} [/mm] = 9 + 1 = 10
[mm] \Rightarrow 10=(x-2)^{2} [/mm] + [mm] (y-1)^{2}
[/mm]
Wenn ich daraus jetzt noch die allgemeine Form machen will, darf ich dann einfach [mm] r^{2} [/mm] = 0 setzen?
Also so:
0 = (-1 - [mm] 2)^{2} [/mm] + (2 - [mm] 1)^{2}[/mm]
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> Super, das hat auch funktioniert:
>
> A = (-1,2)
>
> [mm]r^{2}[/mm] = [mm](x_{A}[/mm] - [mm]x_{M})^{2}[/mm] + [mm](y_{A}[/mm] - [mm]y_{M})^{2}[/mm]
>
> [mm]\gdw r^{2}[/mm] = (-1 - [mm]2)^{2}[/mm] + (2 - [mm]1)^{2}[/mm]
> [mm]\gdw r^{2}[/mm] = 9 + 1 = 10
>
> [mm]\Rightarrow 10=(x-2)^{2}[/mm] + [mm](y-1)^{2}[/mm]
>
>
> Wenn ich daraus jetzt noch die allgemeine Form machen will,
> darf ich dann einfach [mm]r^{2}[/mm] = 0 setzen? ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Weshalb denn ??
Du hast doch den korrekten Wert für den Kreisradius schon
bestimmt - und ein Kreis mit Radius Null wäre ja auch
ein ziemlich mickriges Objekt ...
>
> Also so:
>
> 0 = (-1 - [mm]2)^{2}[/mm] + (2 - [mm]1)^{2}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Nee. Diese Gleichung ist doch ohnehin falsch !
In der Kreisgleichung müssen doch die Koordinaten x und y
als Variablen noch wirklich vorkommen.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:34 Do 30.09.2010 | | Autor: | abakus |
> Bestimmen Sie eine Gleichung des Kreises, auf dem die drei
> Punkte A=(-1,2) B=(5,0) und C=(1,-2) liegen.
> Ich denke ich muss dafür die Formel
>
> [mm]r^{2}=(x-x_{M})^{2}+(y-y_{M})^{2}[/mm]
>
> benutzen.
Kannst du, musst du aber nicht.
Dein Problem ist so gut wie gelöst, wenn du den Kreismittelpunkt hast.
Der ist der Schnittpunkt zweier Mittelsenkrechten.
Die Strecke AB hat den Mittelpunkt (2|1) und den Anstieg -1/3. Damit geht die Mittelsenkrechte durch (2|1) und hat den Anstieg +3.
Bestimme noch eine zweite Mittelsenkrechte und dann den Schnittpunkt.
Gruß Abakus
>
> Dann denke ich, müssen die Punkte in die Formeln
> eingetragen werden.
>
> [mm]r_{A}^{2}=(x-x_{A})^{2}+(y-y_{A})^{2}[/mm]
>
> [mm]r_{A}^{2}=((-1)-x_{A})^{2}+(2-y_{A})^{2}[/mm]
>
> [mm]r_{A}^{2}=1+2x_{A}+x_{A}^{2}+4-4y_{A}^{2}+y_{A}^{2}[/mm]
>
>
>
>
> [mm]r_{B}^{2}=(x-x_{B})^{2}+(y-y_{B})^{2}[/mm]
>
> [mm]r_{B}^{2}=(5-x_{B})^{2}+(0-y_{B})^{2}[/mm]
>
> [mm]r_{B}^{2}= 25-10x_{B}+x_{B}^{2}+y_{B}^{2}[/mm]
>
>
>
> [mm]r_{C}^{3}=(x-x_{C})^{2}+(y-y_{C})^{2}[/mm]
>
> [mm]r_{C}^{2}=(1-x_{C})^{2}+((-2)-y_{A})^{2}[/mm]
>
> [mm]r_{C}^{2}=5-2x_{C}+x_{C}^{2}+4y_{C}+y_{C}^{2}[/mm]
>
>
> Stimmt das soweit?
>
> Doch wie mache ich da nun weiter?
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