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Geometrische Reihe: Fehlersuche
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:51 Mo 06.11.2006
Autor: chil14r

Aufgabe
Folgendes Problem : Ich will beweisen dass [mm] \summe_{j=0}^{k-1}2^j [/mm] = $ [mm] 2^k [/mm] -1 $ ist.

Intuitiv ist dass nicht klar, aber durch ausprobiern sieht man sehr schnell den Zusammenhang. Nun zum Beweis, welcher mir echt Probleme bereitet.
Ich probierte es mit mit der Lösung der Summe durch eine geometrische Zahlenfolge.
[mm] \summe_{j=0}^{k-1}2^j [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^{k-1}2^j [/mm] + 1
Lösung der geomertischen Zahlenfolge durch:
$ [mm] \bruch{1-q^n}{1-q} [/mm] $
$ [mm] \bruch{1-2^{k-1}}{1-2} [/mm] + 1 $
$ [mm] \bruch{-1+2^{k-1}}{1} [/mm] + 1 $
$ [mm] 2^{k-1} [/mm] $
Erkennt jemand meinen Fehler?
Danke für eure Hilfe..

        
Bezug
Geometrische Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:12 Mo 06.11.2006
Autor: Frusciante

Hallo,

> Folgendes Problem : Ich will beweisen dass
> [mm]\summe_{j=0}^{k-1}2^j[/mm] = [mm]2^k -1[/mm] ist.
>  Intuitiv ist dass nicht klar, aber durch ausprobiern sieht
> man sehr schnell den Zusammenhang. Nun zum Beweis, welcher
> mir echt Probleme bereitet.
> Ich probierte es mit mit der Lösung der Summe durch eine
> geometrische Zahlenfolge.
> [mm]\summe_{j=0}^{k-1}2^j[/mm] = [mm]\summe_{j=1}^{k-1}2^j[/mm] + 1
>  Lösung der geomertischen Zahlenfolge durch:
>  [mm]\bruch{1-q^n}{1-q}[/mm]
>  [mm]\bruch{1-2^{k-1}}{1-2} + 1[/mm]
>  [mm]\bruch{-1+2^{k-1}}{1} + 1[/mm]
>  
> [mm]2^{k-1}[/mm]
>  Erkennt jemand meinen Fehler?

Die endliche geometrische Reihe lautet doch:

[mm] $\summe_{j=0}^{n} q^j=\bruch{1-q^{n+1}}{1-q}$ [/mm]

Angewandt auf Deine Gleichung sollte da stehen

[mm] $\summe_{j=0}^{\red{k-1}} 2^j=\bruch{1-2^{\red{k-1}+1}}{1-2}=\bruch{1-2^{k}}{-1}=2^{k}-1$ [/mm]

Gruß, Frusciante


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