Funktion mit Betrag < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:32 Do 15.11.2007 | | Autor: | Blacky |
Guten abend zusammen,
ich habe nur eine klitzekleine Frage.
Mir liegt folgende Funktion vor: f(x)=x²+2|x-0,5|
Von der Betragsfunktion |x| weiß ich, dass sie stetig ist aber in 0 nicht differenzierbar ist. Folgt daraus, dass diese Funktion hier auch stetig ist aber in 0,5 nicht differenzierbar ist? Sicher kann man das mit dem Differenzquotienten zeigen, aber ich weiß gerade nicht wie.
Hat vlt. jemand eine Idee? :)
lg, christoph
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> Guten abend zusammen,
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> ich habe nur eine klitzekleine Frage.
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> Mir liegt folgende Funktion vor: f(x)=x²+2|x-0,5|
> Von der Betragsfunktion |x| weiß ich, dass sie stetig ist
> aber in 0 nicht differenzierbar ist. Folgt daraus, dass
> diese Funktion hier auch stetig ist aber in 0,5 nicht
> differenzierbar ist?
Hier schon, bei [mm] $g(x)=x^2+2|x-0.5|^3$ [/mm] jedoch nicht.
> Sicher kann man das mit dem
> Differenzquotienten zeigen, aber ich weiß gerade nicht
> wie.
Deine Funktion ist an der Stelle $x=0.5$ genau dann diff'bar, wenn ihre linksseitige und rechtseitige Ableitung beide existieren und gleich sind. Die linksseitige Ableitung stimmt mit der Ableitung von [mm] $f_l(x) [/mm] := [mm] x^2-2(x-0.5)$, [/mm] die rechtsseitige mit der Ableitung von [mm] $f_r(x) [/mm] := [mm] x^2+2(x-0.5)$ [/mm] überein. Die Frage, ob [mm] $f(x)=x^2+2|x-0.5|$ [/mm] an der Stelle $x=0.5$ diff'bar ist läuft somit auf die Frage hinaus, ob $f'_l(0.5)$ gleich $f'_r(0.5)$ ist, oder nicht (hier nicht).
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