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Hallo,
ich habe eine Frage zum Thema der Freien Gruppe:
Ausdrücke wie <a,b| [mm] aba^{-1}b^{-1}> [/mm] haben wir als Quotientengruppe G/N definiert, wobei a,b erzeiger von G und [mm] aba^{-1}b^{-1} [/mm] erzeuger von N.
1)
Nun lese ich <a,b| [mm] aba^{-1}b^{-1}>\cong \IZ^2. [/mm] Sieht hier jemand vielleicht einen Isomorphismus? Ich habe mir die Elm. aus G bzw. N aufgeschrieben, konnte aber keinen konstruieren.
2)
Wir haben auch Ausdrücke benutzt wie z.B. <a,b| [mm] a^2=b^5> [/mm]
Hier steht ja rechts eine Beziehung (in diesem Fall Gleichheit) zwischen Elm. aus unserer Gruppe G. Wie ist das zu interpretieren?
Heißt der ausdruck vielleicht, dass wir alle "Wörter" haben, mit der Einschränkung, dass [mm] a^2=b^5 [/mm] ist?
Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:56 Do 20.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> ich habe eine Frage zum Thema der Freien Gruppe:
> Ausdrücke wie <a,b| [mm]aba^{-1}b^{-1}>[/mm] haben wir als
> Quotientengruppe G/N definiert, wobei a,b erzeiger von G
> und [mm]aba^{-1}b^{-1}[/mm] erzeuger von N.
>
> 1)
> Nun lese ich <a,b| [mm]aba^{-1}b^{-1}>\cong \IZ^2.[/mm] Sieht hier
> jemand vielleicht einen Isomorphismus? Ich habe mir die
> Elm. aus G bzw. N aufgeschrieben, konnte aber keinen
> konstruieren.
Nun, in der Gruppe gilt dann doch $a b [mm] a^{-1} b^{-1} [/mm] = e$, oder umgeschrieben $a b = b a$. Damit kannst du aus einem Wort in endlich vielen Vertauschungen etwas der Form [mm] $a^n b^m$ [/mm] mit $n, m [mm] \in \IZ$ [/mm] machen, und jedes Wort (in der freien Gruppe) ist zu genau einem Wort [mm] $a^n b^m$ [/mm] aequivalent (modulo dem von $a b [mm] a^{-1} b^{-1}$ [/mm] erzeugten Normalteiler).
> 2)
> Wir haben auch Ausdrücke benutzt wie z.B. <a,b| [mm]a^2=b^5>[/mm]
> Hier steht ja rechts eine Beziehung (in diesem Fall
> Gleichheit) zwischen Elm. aus unserer Gruppe G. Wie ist das
> zu interpretieren?
Nun, [mm] $a^2 [/mm] = [mm] b^5$ [/mm] bedeutet doch [mm] $a^2 b^{-5} [/mm] = e$. Der Ausdruck ist also einfach eine andere Schreibweise fuer [mm] $\langle [/mm] a, b [mm] \mid a^2 b^{-5} \rangle$.
[/mm]
> Heißt der ausdruck vielleicht, dass wir alle "Wörter"
> haben, mit der Einschränkung, dass [mm]a^2=b^5[/mm] ist?
Es ist auch wieder die freie Gruppe mit Erzeugern $a$ und $b$ modulo dem Normalteiler, der von [mm] $a^2 b^{-5}$ [/mm] erzeugt wird.
LG Felix
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Vielen Dank!! Du hast mir sehr geholfen.
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