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Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen" - Formel
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Formel: Erklärung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:43 Mo 18.03.2013
Autor: arraneo

Hey hey, ich hab grade versucht eine Aufgabe zu lösen und dann die Lösung angeguckt. Die Lösung ist mir an sich ziemlich klar, aber da gibt´s eine Anwendung einer Formel die ich gar nicht kenne.

Kann mir bitte jemanden erklären wie sie darauf gekommen sind um zu schreiben :
Setze [mm] a_n:=1+\frac{i}{n}, [/mm] für [mm] n\in [/mm] N

Sei [mm] f:C\to [/mm] C , [mm] z\to \frac{(z^2-1)^2}{|z+1|^2} [/mm]

Dann gilt für [mm] n\in [/mm] N :

[mm] f(a_n)=\frac{((1+\frac{i}{n})^2-1)^2}{|1+\frac{i}{n}-1|^2}=\frac{((1+\frac{i}{n})(1-\frac{i}{n})-1)^2}{\frac{1}{n^2}}=\frac{(1+1/n-1)^2}{1/n^2}=\frac{1}{n^2}. [/mm]

Also die Frage lautet: wie genau gilt:

[mm] (1+\frac{i}{n})^2=(1+\frac{i}{n})(1-\frac{i}{n}) [/mm] ?!

Vielen Dank,

arraneo ^^  

        
Bezug
Formel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:51 Mo 18.03.2013
Autor: fred97


> Hey hey, ich hab grade versucht eine Aufgabe zu lösen und
> dann die Lösung angeguckt. Die Lösung ist mir an sich
> ziemlich klar, aber da gibt´s eine Anwendung einer Formel
> die ich gar nicht kenne.
>
> Kann mir bitte jemanden erklären wie sie darauf gekommen
> sind um zu schreiben :
> Setze [mm]a_n:=1+\frac{i}{n},[/mm] für [mm]n\in[/mm] N
>
> Sei [mm]f:C\to[/mm] C , [mm]z\to \frac{(z^2-1)^2}{|z+1|^2}[/mm]

>



Sollte das nicht lauten    [mm]z\to \frac{(z^2-1)^2}{|z-1|^2}[/mm] ?

> Dann gilt für [mm]n\in[/mm] N :
>
> [mm]f(a_n)=\frac{((1+\frac{i}{n})^2-1)^2}{|1+\frac{i}{n}-1|^2}=\frac{((1+\frac{i}{n})(1-\frac{i}{n})-1)^2}{\frac{1}{n^2}}=\frac{(1+1/n-1)^2}{1/n^2}=\frac{1}{n^2}.[/mm]
>
> Also die Frage lautet: wie genau gilt:
>
> [mm](1+\frac{i}{n})^2=(1+\frac{i}{n})(1-\frac{i}{n})[/mm] ?!


Das ist falsch. Und damit obige Rechnung auch.

FRED

>
> Vielen Dank,
>
> arraneo ^^  


Bezug
                
Bezug
Formel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:55 Mo 18.03.2013
Autor: arraneo


> > Hey hey, ich hab grade versucht eine Aufgabe zu lösen und
> > dann die Lösung angeguckt. Die Lösung ist mir an sich
> > ziemlich klar, aber da gibt´s eine Anwendung einer Formel
> > die ich gar nicht kenne.
> >
> > Kann mir bitte jemanden erklären wie sie darauf gekommen
> > sind um zu schreiben :
> > Setze [mm]a_n:=1+\frac{i}{n},[/mm] für [mm]n\in[/mm] N
> >
> > Sei [mm]f:C\to[/mm] C , [mm]z\to \frac{(z^2-1)^2}{|z+1|^2}[/mm]
>  >
>  
>
>
> Sollte das nicht lauten    [mm]z\to \frac{(z^2-1)^2}{|z-1|^2}[/mm]
> ?

DOCH, das war ein Tipfehler, aber was da unten steht ist einfach vom Buch abgeschrieben.


>  > Dann gilt für [mm]n\in[/mm] N :

> >
> >
> [mm]f(a_n)=\frac{((1+\frac{i}{n})^2-1)^2}{|1+\frac{i}{n}-1|^2}=\frac{((1+\frac{i}{n})(1-\frac{i}{n})-1)^2}{\frac{1}{n^2}}=\frac{(1+1/n-1)^2}{1/n^2}=\frac{1}{n^2}.[/mm]
> >
> > Also die Frage lautet: wie genau gilt:
> >
> > [mm](1+\frac{i}{n})^2=(1+\frac{i}{n})(1-\frac{i}{n})[/mm] ?!
>
>
> Das ist falsch. Und damit obige Rechnung auch.
>  
> FRED
>  >

> > Vielen Dank,
> >
> > arraneo ^^  
>  

also das gilt nicht, oder? (das war übrigens die Musterlösung von einer Klausur)


Bezug
                        
Bezug
Formel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:14 Mo 18.03.2013
Autor: fred97


> > > Hey hey, ich hab grade versucht eine Aufgabe zu lösen und
> > > dann die Lösung angeguckt. Die Lösung ist mir an sich
> > > ziemlich klar, aber da gibt´s eine Anwendung einer Formel
> > > die ich gar nicht kenne.
> > >
> > > Kann mir bitte jemanden erklären wie sie darauf gekommen
> > > sind um zu schreiben :
> > > Setze [mm]a_n:=1+\frac{i}{n},[/mm] für [mm]n\in[/mm] N
> > >
> > > Sei [mm]f:C\to[/mm] C , [mm]z\to \frac{(z^2-1)^2}{|z+1|^2}[/mm]
>  >  >
>  >  
> >
> >
> > Sollte das nicht lauten    [mm]z\to \frac{(z^2-1)^2}{|z-1|^2}[/mm]
> > ?
>  
> DOCH, das war ein Tipfehler, aber was da unten steht ist
> einfach vom Buch abgeschrieben.
>
>
> >  > Dann gilt für [mm]n\in[/mm] N :

> > >
> > >
> >
> [mm]f(a_n)=\frac{((1+\frac{i}{n})^2-1)^2}{|1+\frac{i}{n}-1|^2}=\frac{((1+\frac{i}{n})(1-\frac{i}{n})-1)^2}{\frac{1}{n^2}}=\frac{(1+1/n-1)^2}{1/n^2}=\frac{1}{n^2}.[/mm]
> > >
> > > Also die Frage lautet: wie genau gilt:
> > >
> > > [mm](1+\frac{i}{n})^2=(1+\frac{i}{n})(1-\frac{i}{n})[/mm] ?!
> >
> >
> > Das ist falsch. Und damit obige Rechnung auch.
>  >  
> > FRED
>  >  >

> > > Vielen Dank,
> > >
> > > arraneo ^^  
> >  

>
> also das gilt nicht, oder?

Nein, es gilt nicht.

Du kannst Dir ja mal überlegen für welche z [mm] \in \IC [/mm] die Gl.

(1)  [mm] (1+z)^2=(1-z)(1+z) [/mm]

gilt,

oder die Gl.

(2) [mm] (1+z)^2=(1+z)(1+\overline{z}). [/mm]

Für z=i/n gelten (1) und (2) jedenfalls nicht.

FRED


> (das war übrigens die
> Musterlösung von einer Klausur)
>  


Bezug
                                
Bezug
Formel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:31 Mo 18.03.2013
Autor: arraneo

z ist an der Stelle nicht gleich i/n, sondern z=1+i/n

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