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Folgenkriterium: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 12:23 Mi 09.01.2008
Autor: abi2007LK

Hallo,

ich soll prüfen, in welchen Punkten die Funktion

f(x) = [mm] \frac{2x^3-6x^2}{x^2-9} [/mm] mit x [mm] \in \IR \backslash \{-3,3\}, [/mm] f(-3)=4, f(3)=3

stetig ist.

Zunächst habe ich überprüft, wo f(x) nicht definiert ist.

[mm] \gdw x^2-9 [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow x_1 [/mm] = 3, [mm] x_2 [/mm] = -3

Ich nehme an, dass für f(x) in [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] stetig ist. Dann müsste folgendes gelten:

[mm] f(x_1) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow x_1} [/mm] f(x)
[mm] \gdw f(x_1) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow x_1+} [/mm] f(x)
[mm] \gdw f(x_1) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow x_1-} [/mm] f(x)

Analog für [mm] x_2 [/mm]

Nun wollte ich das Folgenkriterium anwenden.

"f: D [mm] \to \IR [/mm] ist genau dann stetig in [mm] x_0 \in [/mm] D, wenn für alle Folgen [mm] (x_n) [/mm] aus D mit [mm] x_n \to x_0 [/mm] gilt: [mm] f(x_n) \to f(x_0)." [/mm]

Problem: [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] liegen bei mir garnich in der Definitionsmenge D. Das macht mich etwas "stutzig". Dann kann ich also auch das Folgenkriterium wohl nicht anwenden.

Oder doch?


        
Bezug
Folgenkriterium: Ansatz
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:26 Mi 09.01.2008
Autor: barsch

Hi,

ich würde folgendes machen:

> Hallo,
>  
> ich soll prüfen, in welchen Punkten die Funktion
>  
> f(x) = [mm]\frac{2x^3-6x^2}{x^2-9}[/mm] mit x [mm]\in \IR \backslash \{-3,3\},[/mm]
> f(-3)=4, f(3)=3
>  
> stetig ist.
>  
> Zunächst habe ich überprüft, wo f(x) nicht definiert ist.
>  
> [mm]\gdw x^2-9[/mm] = 0 [mm]\Rightarrow x_1[/mm] = 3, [mm]x_2[/mm] = -3
>  

[mm] f(x)=\frac{2x^3-6x^2}{x^2-9}=\bruch{2x^2*(x-3)}{(x-3)*(x+3)}=\bruch{2x^2}{x+3} [/mm]

jetzt ist [mm] \limes_{x\rightarrow{x_1}}f(x)=\limes_{x\rightarrow{3}}f(x)=3 [/mm] und damit f stetig in [mm] x_1=3. [/mm]

Wie das jetzt jedoch mit [mm] x_2 [/mm] ist, kann ich auch nicht sagen.

Aber vielleicht bringt dich dieser Ansatz weiter.

MfG barsch

Bezug
        
Bezug
Folgenkriterium: auch Folgenkriterium möglich
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:49 Fr 11.01.2008
Autor: Roadrunner

Hallo abi2007LK!


Der elegenatere Weg wurde Dir ja bereits gezeigt mittels faktorisieren und kürzen.

Aber auch mit dem Folgenkriterium solltest Du jeweils zum selben Ergebnis kommen.


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
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