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Folgenkonvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:57 Di 08.02.2011
Autor: Theoretix

Aufgabe
Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge:

[mm] a_{n}:=\wurzel[n]{2+\bruch{(n-1)}{(n+1)}} [/mm]

Hallo,

ich kann die Folge doch erstmal umformen:

[mm] \wurzel[n]{2+\bruch{(n-1)}{(n+1)}}=\wurzel[n]{2+\bruch{(n-1)(n+1)}{(n+1)(n+1)}}=\wurzel[n]{2+\bruch{n^2-1}{(n+1)^2}}=\wurzel[n]{2+\bruch{(n^2-1)}{(n^2+2n+1)}}=\wurzel[n]{2+\bruch{n^2(1-\bruch{1}{n^2})}{n^2(1+\bruch{2}{n}*\bruch{1}{n^2})}} [/mm]


Da der Grenzwert jedes Summanden bekannt ist, kann ich doch jetzt die Grenzwertsätze anwenden und komme auf [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{2+1}=1...Stimmt [/mm] das so?

Gruß

        
Bezug
Folgenkonvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:11 Mi 09.02.2011
Autor: kamaleonti

Hi,
> Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge:
>  
> [mm]a_{n}:=\wurzel[n]{2+\bruch{(n-1)}{(n+1)}}[/mm]
>  Hallo,
>
> ich kann die Folge doch erstmal umformen:
>  
> [mm]\wurzel[n]{2+\bruch{(n-1)}{(n+1)}}=\wurzel[n]{2+\bruch{(n-1)(n+1)}{(n+1)(n+1)}}=\wurzel[n]{2+\bruch{n^2-1}{(n+1)^2}}=\wurzel[n]{2+\bruch{(n^2-1)}{(n^2+2n+1)}}=\wurzel[n]{2+\bruch{n^2(1-\bruch{1}{n^2})}{n^2(1+\bruch{2}{n}*\bruch{1}{n^2})}}[/mm]
>  
>
> Da der Grenzwert jedes Summanden bekannt ist, kann ich doch
> jetzt die Grenzwertsätze anwenden und komme auf
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{2+1}=1...Stimmt[/mm] das
> so?

Ein derartiger Grenzwertsatz ist mir nicht bekannt. Sieht auch unnötig kompliziert aus, was du da machst.
Was hältst du vom Sandwichlemma? [mm] a_n [/mm] ist beschränkt durch
[mm]\wurzel[n]{2}\leq\wurzel[n]{2+\frac{n-1}{n+1}}\leq\wurzel[n]{3}[/mm] für [mm] n\geq [/mm] 1.

>  
> Gruß

Gruß,
Kamaleonti


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