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| Aufgabe | Die Teilfolge [mm] a_{n_{m}} [/mm] von [mm] a_{n} [/mm] konvergiert gegen einen eindeutigen Wert a.
Kann man daraus die Konvergenz der Folge [mm] a_{n} [/mm] schließen? |
Bin mir hierbei nicht ganz sicher....
Die Möglichkeiten wären Konvergenz, uneigentliche Konvergenz und Divergenz.
- Uneigentliche Konvergenz kann man ausschließen, da es nur einen eindeutigen Grenzwert, nämlich a, gibt.
Aber kann man daraus auf Konvergenz schließen? Von [mm] a_{n} [/mm] ist sonst nichts gesagt.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:10 So 18.05.2008 | | Autor: | pelzig |
> Die Teilfolge [mm]a_{n_{m}}[/mm] von [mm]a_{n}[/mm] konvergiert gegen einen
> eindeutigen Wert a.
> Kann man daraus die Konvergenz der Folge [mm]a_{n}[/mm] schließen?
Daraus kann man (fast) gar nix über das Konvergenzverhalten von [mm] $a_n$ [/mm] schließen, betrachte dazu die folgenden Beispiele:
[mm] $a_n=0$, [/mm] Die Teilfolge [mm] $a_{2n}$ [/mm] konvergiert gegen 0, ebenso [mm] $a_n$.
[/mm]
[mm] $a_n=(-1)^n$, [/mm] Die Teilfolge [mm] $a_{2n}$ [/mm] konvergiert gegen 1, aber [mm] $a_n$ [/mm] divergiert.
> Uneigentliche Konvergenz kann man ausschließen, da es nur einen eindeutigen Grenzwert, nämlich a, gibt.
Die Behauptung stimmt zwar, aber deine Begründung nicht.
Angenommen [mm] $a_n$ [/mm] würde uneigentlich gegen [mm] $\infty$ [/mm] konvergieren, dann gäbe es [mm] $N\in\IN$ [/mm] mit [mm] $a_n>a+1$ [/mm] für alle $n>N$ - aber das ist ein Widerspruch zur Voraussetzung, dass es eine konvergente Teilfolge [mm] $a_{n_m}\to [/mm] a$ gibt. Für [mm] $a_n\to -\infty$ [/mm] betrachtet man [mm] $\tilde{a}_n:=-a_n$.
[/mm]
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