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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:51 Fr 17.04.2009 | | Autor: | Phorkyas |
| Aufgabe | Sei f:R->R mit f(x) = [mm] x^2.
[/mm]
Bestimmen Sie den Fluss und dessen Definitionsbereich. |
Hallo Forum.
Um einen Fluss zu bestimmen, benötige ich doch einen variablen Anfangswert. Sei also das AWP wie folgt:
(i) d(x(t))/dt = [mm] (x(t))^2
[/mm]
(ii) x(t0) = x0
Mit Separation der Variablen erhalte ich:
x(t) = x0 + 1/t0 - 1/t
Hier musste ich allerdings annehmen, dass x, t, t0 alle ungleich 0 sind.
Die Musterlösung sagt: x(t) = x0/(1-xo*t)
Picard-Iteration hat mir auch nicht geholfen.
Wie komme ich also dahin?
Danke für Eure Hilfe.
Phorkyas
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Hallo Phorkyas,
> Sei f:R->R mit f(x) = [mm]x^2.[/mm]
> Bestimmen Sie den Fluss und dessen Definitionsbereich.
> Hallo Forum.
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> Um einen Fluss zu bestimmen, benötige ich doch einen
> variablen Anfangswert. Sei also das AWP wie folgt:
>
> (i) d(x(t))/dt = [mm](x(t))^2[/mm]
> (ii) x(t0) = x0
>
> Mit Separation der Variablen erhalte ich:
> x(t) = x0 + 1/t0 - 1/t
>
> Hier musste ich allerdings annehmen, dass x, t, t0 alle
> ungleich 0 sind.
>
> Die Musterlösung sagt: x(t) = x0/(1-xo*t)
>
> Picard-Iteration hat mir auch nicht geholfen.
> Wie komme ich also dahin?
Nun, aus (i) folgt
[mm]\bruch{1}{x^{2}} \ dx = dt[/mm]
Beide Seiten integriert, ergibt
[mm]-\bruch{1}{x}=t+C[/mm]
[mm]\Rightarrow x\left(t\right)=-\bruch{1}{t+C}[/mm]
Anfangsbedingungen eingsetzt, ergibt
[mm]C=-t_{0}-\bruch{1}{x_{0}}[/mm]
was auf
[mm]x\left(t\right)=\bruch{x_{0}}{1-x_{0}*\left(t-t_{0}\right)}[/mm]
führt.
>
> Danke für Eure Hilfe.
>
> Phorkyas
Gruß
MathePower
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