Extrema mit Nebenbedingung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Man bestimme die Maxima und Minima des Polynoms $f(x,y) = x-y$ auf der Kreislinie [mm] $\{(x,y)\in\IR^{2}:x^{2}+y^{2}=1\}$. [/mm] |
Hallo!
Zu obiger Aufgabe habe ich eine Frage.
Die Nebenbedingung lautet $g(x,y) = [mm] x^{2}+y^{2}-1 [/mm] = 0$ Ich habe die Lagrange-Funktion aufgestellt:
[mm] $L(x,y,\lambda) [/mm] = [mm] f(x,y)-\lambda*g(x,y) [/mm] = [mm] x-y-\lambda*(x^{2}+y^{2}-1)$.
[/mm]
Der Gradient lautet:
$grad(L) = [mm] \vektor{1-2*\lambda*x\\ -1-2*\lambda*y\\ x^{2}+y^{2}-1}$
[/mm]
Ich erhalte die beiden Lösungen $(x,y) = [mm] \left(-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ [/mm] und $(x,y) = [mm] \left(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$. [/mm] Es ist nun anschaulich relativ klar, dass das tatsächlich Maxima und Minima sind, aber wie kann ich das jetzt rechnerisch bestätigen? Darf ich die Hesse-Matrix aufstellen?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:20 Do 17.06.2010 | | Autor: | Lippel |
> Man bestimme die Maxima und Minima des Polynoms [mm]f(x,y) = x-y[/mm]
> auf der Kreislinie [mm]\{(x,y)\in\IR^{2}:x^{2}+y^{2}=1\}[/mm].
> Hallo!
>
> Zu obiger Aufgabe habe ich eine Frage.
>
> Die Nebenbedingung lautet [mm]g(x,y) = x^{2}+y^{2}-1 = 0[/mm] Ich
> habe die Lagrange-Funktion aufgestellt:
>
> [mm]L(x,y,\lambda) = f(x,y)-\lambda*g(x,y) = x-y-\lambda*(x^{2}+y^{2}-1)[/mm].
>
> Der Gradient lautet:
>
> [mm]grad(L) = \vektor{1-2*\lambda*x\\ -1-2*\lambda*y\\ x^{2}+y^{2}-1}[/mm]
>
> Ich erhalte die beiden Lösungen [mm](x,y) = \left(-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)[/mm]
> und [mm](x,y) = \left(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)[/mm].
> Es ist nun anschaulich relativ klar, dass das tatsächlich
> Maxima und Minima sind, aber wie kann ich das jetzt
> rechnerisch bestätigen? Darf ich die Hesse-Matrix
> aufstellen?
Die Kreislinie ist kompakt, d.h. Maximum und Minimum werden angenommen. Mit dem Lagrange-Formalismus bestimmst du alle Punkte, die für Extrema in Frage kommen. Da es hier mindestens zwei Extrema geben muss, du aber auch genau zwei mögliche Punkte [mm](x,y) = \left(-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)[/mm] und [mm](x,y) = \left(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)[/mm] findest, muss genau in diesen Punkten Maximum und Minimum angenommen werden. Welcher der beiden das Maximum und welcher das Minimum ist, erhälst du natürlich durch einsetzen.
>
> Vielen Dank für Eure Hilfe!
> Grüße,
> Stefan
Viele Grüße, Lippel
|
|
|
| |
|
Hallo Lippel,
danke für deine Antwort!
Grüße,
Stefan
|
|
|
|
