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Exponentialreihen: Wert einer Exponentialreihe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:49 Mo 07.12.2015
Autor: Piba

Aufgabe
Berechnen Sie den Wert der Reihe [mm] \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{e^{nx}}{n!} [/mm]

Hallo zusammen!

Ich bin neu hier und habe Probleme beim Lösen dieser Aufgabe. Ich habe mir gedacht folgendes zu tun: [mm] \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{e^{nx}}{n!} [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{1}{n!}\*e^{nx} [/mm] = [mm] \underbrace{\summe_{i=0}^{\infty} \bruch{1}{n!}}_{=e} [/mm] * [mm] \underbrace{\summe_{i=0}^{\infty} e^{nx}}_{geo. Reihe} [/mm] = e * [mm] \bruch{1}{1-e^x} [/mm] = [mm] \bruch{e}{1-e^x}. [/mm] Wolfram sagt ab das das Ergebnis [mm] e^{e^x} [/mm] ist.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Exponentialreihen: falsche Umformung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:30 Mo 07.12.2015
Autor: Roadrunner

Hallo Piba,

[willkommenmr] !!



> Berechnen Sie den Wert der Reihe [mm]\summe_{i=0}^{\infty} \bruch{e^{nx}}{n!}[/mm]

Aufpassen mit den Indizes! [lehrer]
Du meinst hier mit Sicherheit:  [mm]\summe_{\red{n}=0}^{\infty} \bruch{e^{n*x}}{n!}[/mm]


> Ich habe mir gedacht folgendes zu tun:  [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \left(\bruch{1}{n!}*e^{nx}\right) = \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!}* \summe_{n=0}^{\infty} e^{nx}[/mm]

[notok] Diese Gleichheit gilt nicht. Da trittst Du quasi das Distributivgesetz mit Füßen.


Aber Du kommst hier weiter durch Anwendung der MBPotenzgesetze:

[mm] $\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{e^{n*x}}{n!} [/mm] \ = \ [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{\left( \ e^{x} \ \right)^n}{n!} [/mm] \ = \ [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{z^n}{n!}$ [/mm]  mit  $z \ := \ [mm] e^x$ [/mm] .

Nun die Definition der Exponentialreihe anwenden.


Gruß vom
Roadrunner

Bezug
                
Bezug
Exponentialreihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:47 Mo 07.12.2015
Autor: Piba

Danke für die schnelle Antwort. Das mit dem Index ist mir nicht aufgefallen danke für den Hinweis, natürlich war damit n = 0 gemeint ^^

Mit deinem Hinweis scheint die Lösung jetzt einfach zu sein, wenn ich mich hier nicht wieder vertue, aber mit:

[mm] $\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{e^{n*x}}{n!} [/mm] \ = \ [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{\left( \ e^{x} \ \right)^n}{n!} [/mm] \ = \ [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{z^n}{n!}$ [/mm] mit $z \ := \ [mm] e^x$ [/mm] wissen wir, dass ja [mm] $\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{z^n}{n!}$ [/mm] gegen [mm] $e^z$ [/mm] konvergiert und wenn wir nun für [mm] $e^z, [/mm] z := [mm] e^x$ [/mm] einsetzen so bekomme ich [mm] $e^{e^x}$. [/mm] Und das hat mir Wolfram auch als Ergebnis gezeigt.


Bezug
                        
Bezug
Exponentialreihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:51 Mo 07.12.2015
Autor: Thomas_Aut

Bingo!


Lg

Bezug
                                
Bezug
Exponentialreihen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:58 Mo 07.12.2015
Autor: Piba

Vielen Dank. [happy]

Bezug
        
Bezug
Exponentialreihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:23 Mo 07.12.2015
Autor: fred97

Auf Deinen Fehler hat Dich Roadrunner schon hingewiesen. Ich hab noch was:

$ [mm] \summe_{n=0}^{\infty} e^{nx} =\summe_{n=0}^{\infty} (e^{x})^n$ [/mm]

konvergiert nur, wenn [mm] e^x<1, [/mm] also x<0 ist !

FRED

Bezug
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