Existenz eines GW mit Integr. < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie mit Integration: Der Grenzwert
[mm] $$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{k^r}{n^{r+1}}$$
[/mm]
existiert für alle [mm] $r\in\IN_{0}. [/mm] |
Hallo, ihr alle,
Wir haben schon (mit dem [mm] $\delta-\epsilon$-Kriterium) [/mm] gezeigt, dass
[mm] $$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right)=\integral_{0}^{1}{f(x)\,\mathrm{d}x},$$
[/mm]
wobei [mm] $f:[0,1]\to\IR$ [/mm] stetig war.
Ich kann die Summe ja etwas umschreiben:
[mm] $$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{k^r}{n^{r+1}}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\left(\frac{k}{n}\right)^r$$
[/mm]
Jetzt ist mein Problem, wie ich mir die passende Treppenfunktion bastele (das ist unser einziges Werkzeug bisher). Oder kann ich die Existenz von der vorherigen Aufgabe herleiten?
Vielen Dank, Stefan.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:43 So 25.04.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo Stefan!
> Zeigen Sie mit Integration: Der Grenzwert
> [mm]\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{k^r}{n^{r+1}}[/mm]
> existiert für alle [mm]$r\in\IN_{0}.[/mm]
> Hallo, ihr alle,
>
> Wir haben schon (mit dem [mm]\delta-\epsilon[/mm]-Kriterium)
> gezeigt, dass
>
> [mm]\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right)=\integral_{0}^{1}{f(x)\,\mathrm{d}x},[/mm]
>
> wobei [mm]f:[0,1]\to\IR[/mm] stetig war.
>
> Ich kann die Summe ja etwas umschreiben:
>
> [mm]\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{k^r}{n^{r+1}}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\left(\frac{k}{n}\right)^r[/mm]
>
> Oder kann ich die Existenz von der vorherigen
> Aufgabe herleiten?
Setze $f(x) := [mm] x^r$.
[/mm]
LG Felix
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