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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:58 Fr 03.09.2010 | | Autor: | moerni |
| Aufgabe | Gegeben sei das AWP [mm] y'(t)=t^2+(y(t))^2, y(0)=y_0 [/mm] (Riccati-Gleichung).
1. Gibt es Anfangswerte derart, dass die zugehörige Lösung global definiert ist?
2. Wie verhalten sich die Lösungen am Rand ihres Existenzintervalls?
Hinweis: Machen Sie eine Fallunterscheidung [mm] y_0=0, y_0 \neq [/mm] 0 und konstruieren Sie ein "minorantes" AWP. |
Hallo.
Ich brauche etwas Hilfe bei dieser Aufgabe.
Zu Frage 1.
Ich habe die DGL auf globale Lipschitzstetigkeit überprüft und rausgefunden, dass die DGL nicht global Lipschitzstetig ist (also die globale Version von Picard-Lindelöf nicht anwendbar), sonder nur lokal Lipschitzstetig ist. Nach der lokalen Version von Picard-Lindelöf existiert zu jedem Anfangswert eine Umgebung dieses Anfangswertes, in der das AWP eindeutig lösbar ist.
Also: ob eine Lösung global oder lokal existiert hängt bei Picard-Lindelöf ja nicht vom Anfangswert ab, sondern nur von der Lipschitzstetigkeit. Deswegen würde ich Frage 1 verneinen. Stimmt das??
Zu Frage 2.
Ich weiß erstmal nicht, was genau mit minorantem AWP gemeint ist. Ist damit gemeint, dass man eine Funktion x(t) konstruieren soll mit x(t) [mm] \le [/mm] y(t) für alle t oder mit x'(t) [mm] \le [/mm] y'(t) ?
Überlegung: wenn ich eine Funktion x(t) hätte mit x(t) [mm] \le [/mm] y(t) für alle t im Existenzintervall und ich wüsste, dass zb. x(t) [mm] \to \infty [/mm] für t gegen Rand des Existenzintervalls, dann würde y(t) auch gegen unendlich gehen. Damit könnte ich das Verhalten von y(t) beschreiben. Ist sowas gemeint?
Über eine Hilfe wäre ich sehr dankbar.
lg moerni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Mi 08.09.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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