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| Aufgabe | Die Funktion [mm] \bruch{1}{z+2} [/mm] , z ist ungleich -2, ist in eine Potenzreihe um [mm] z_{0} [/mm] zu entwickeln. Bestimmen Sie den Konvergenzradius dieser Reihe.
[mm] Lösung:\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^n}{7^{(n+1)}} (z-5)^n
[/mm]
r= 7
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Hallo!
Ich brauch Hilfe, weil ich nicht weiß, wie man auf die Lösung kommt...Ich bin nur ein Stück weit gekommen:
[mm] \bruch{1}{2+(z-z_{0})+z_{0}}=\bruch{1}{2+(z-5)+5}=\bruch{1}{7+(z-5)} [/mm] =?
Mein Problem ist, dass ich diesen Ausdruck nicht umformen kann, damit ich einen "Koeffizientenvergleich mit der dem linken Teil der Regel [mm] \bruch{1}{1-(z-z_{0})}=\summe_{n=1}^{n}c_{n}(z-z_{n}) [/mm] machen kann.
Mich stört das "+" und mich stört die "7"...Und als ich die Lösung angeguckt habe, da dacht ich mir: Es gibt bestimmt ne Äquivalenzumformung dafür, aber in meinem Merziger finde ich dazu nix....Wer weiß Rat?
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> Die Funktion [mm]\bruch{1}{z+2}[/mm] , z ist ungleich -2, ist in
> eine Potenzreihe um [mm]z_{0}[/mm] zu entwickeln. Bestimmen Sie den
> Konvergenzradius dieser Reihe.
>
> [mm]Lösung:\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^n}{7^{(n+1)}} (z-5)^n[/mm]
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> r= 7
>
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> Hallo!
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> Ich brauch Hilfe, weil ich nicht weiß, wie man auf die
> Lösung kommt...Ich bin nur ein Stück weit gekommen:
>
> [mm]\bruch{1}{2+(z-z_{0})+z_{0}}=\bruch{1}{2+(z-5)+5}=\bruch{1}{7+(z-5)}[/mm]
> =?
klammer im nenner noch die 7 aus und denke an die geometrische reihe mit
[mm] \sum_{k=0}^{\infty} a_0 q^k [/mm] = [mm] \frac{a_0}{1-q},
[/mm]
>
> Mein Problem ist, dass ich diesen Ausdruck nicht umformen
> kann, damit ich einen "Koeffizientenvergleich mit der dem
> linken Teil der Regel
> [mm]\bruch{1}{1-(z-z_{0})}=\summe_{n=1}^{n}c_{n}(z-z_{n})[/mm]
> machen kann.
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> Mich stört das "+" und mich stört die "7"...Und als ich
> die Lösung angeguckt habe, da dacht ich mir: Es gibt
> bestimmt ne Äquivalenzumformung dafür, aber in meinem
> Merziger finde ich dazu nix....Wer weiß Rat?
gruß tee
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:13 So 21.02.2010 | | Autor: | Loewenzahn |
Ahhh... okay,
also ich habe das gemacht, aber dann hat es nicht hingehauen, weil ich zwar 1/7 ausgeklammert hatte, aber das iwie nicht mehr als Faktor beachtet habe...dann noch das "-" vergessen, und schon sah meine Lsg. kommplett anders aus...daher hatte ich's verworfen....
Okay, es ergibt ich also
[mm] \bruch{1}{7}*\bruch{1}{1+\bruch{1}{7}*(z-5)}=\bruch{1}{7}*\bruch{1}{1-(-\bruch{1}{7}*(z-5))}=\bruch{1}{7}*\bruch{1}{1-(-\bruch{1}{7}*(z-5))}
[/mm]
MIt [mm] (-\bruch{1}{7}*(z-5))="q"
[/mm]
ergibt sich
[mm] \bruch{1}{7}\summe_{n=\infty}(-\bruch{1}{7}*(z-5))^{n}= \bruch{1}{7}\summe_{n=\infty}(-\bruch{1}{7})^{n}*(z-5)^{n}
[/mm]
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