Eigenwerte bei Integralen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei V = C0 [mm] (\IR,\IR) [/mm] der [mm] \IR-Vektorraum [/mm] aller stetigen Funktionen f: [mm] \IR \to \IR. [/mm] Ferner sei T [mm] \in [/mm] End(V) definiert durch
(T(f))(x) := [mm] \integral_{0}^{x}{f(t) dt}.
[/mm]
Zeigen Sie, dass T keinen reellen (oder komplexen) Eigenwert hat. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Diese Aufgabe verwirrt mich. Eigenwerte usw. habe ich eigentlich verstanden, wüsste aber gar nich wie ich hier anfangen sollte.
Ich denke, dass es auf einen Widerspruchsbeweis hinausläuft und würde zunächst annehmen, dass es einen solchen Eigenwert [mm] \lambda [/mm] gibt, sodass
T(f)= [mm] \lambda [/mm] f gilt (Definition)
Könnte mir jemand einen Tipp geben wie ich weiter vorgehen kann? Oder geht es viel einfacher?
Freue mich über jede Antwort!!
Viele Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:51 Di 17.04.2007 | | Autor: | wauwau |
Es müsste also gelten
[mm] \integral_{0}^{x}{f(t) dt} [/mm] = [mm] \lambda*f(x)
[/mm]
Beide seiten abgeleitet ergibt:
f(x) = [mm] \lambda*f'(x)
[/mm]
diese Diffgl. gelöst ergibt
[mm] f(x)=C*e^{\bruch{x}{\lambda}}
[/mm]
T(f(x))= [mm] \lambda*C*e^{\bruch{x}{\lambda}} [/mm] - [mm] \lambda*C
[/mm]
was aber nicht gleich [mm] \lambda*f(x) [/mm] ist
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Also erstmal vielen Dank für die schnelle Antwort!!!
Leider kann ich deine Lösung nicht verwenden, da wir Diffgleichungen noch nicht behandelt haben.:-(
Gibt es vielleicht noch einen anderen Weg?
Bin dankbar für jeden Tipp!!!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:52 Di 17.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
um zu wissen, dass [mm] f'=\lambda*f [/mm] die Loesung [mm] f=e^{lambda*t} [/mm] hat braucht man keine Dgl. zu kennen.Nur die efkt und ihre Ableitung solltest du wissen!
anderer Weg : [mm] f'/f=\lambda [/mm] daraus [mm] \integral{f(x) dx}=\integral{\lambda dx}, lnf=\lambda*x+C [/mm] beide seiten hoch e!
Gruss leduart
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DANKE euch für eure Hilfe!
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